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本
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基于田雨和吴小宁老师的广义相对论课堂笔记整理
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目录
A.
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A.1.
牛顿万有引力定律
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A.2.
等效原理
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A.2.1.
弱等效原理
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A.2.2.
强等效原理
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A.3.
广义协变性原理
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狭义相对论
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A.4.1. Poincaré
变换
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A.4.2. Lorentz
变换
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A.5.
粒子动力学
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A.6.
电动力学
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A.7.
能量
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动量
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应力张量
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A.8.
相对论流体力学
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B.
流形
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B.1.
流形上的向量
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向量场
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张量场
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A.
引言
A.1.
牛顿万有引力定律
表达式
:
𝑭
=
−
𝐺
𝑚
𝑀
𝑟
3
𝒓
,
𝜙
=
−
𝐺
𝑀
𝑟
(1)
牛顿引力定律存在问题
:
1.
不符合狭义相对论
2.
观测精度提高后
,
水星近日点进动无法用牛顿引力定律解释
A.2.
等效原理
A.2.1.
弱等效原理
引力场与惯性场的力学效应在局部上不可分辨
(
即引力质量
=
惯性质量
).
A.2.2.
强等效原理
引力场与惯性场的一切物理效应局域不可分辨
.
⟹
引力几何化
A.3.
广义协变性原理
在任何坐标变换下
,
物理定律具有相同的形式
.
不变性
如
Einstein
关系
:
𝐸
2
=
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
(2)
协变性
如动量
4-
矢量
𝑝
=
𝑝
𝜇
=
(
−
𝐸
𝑐
,
𝒑
)
(3)
A.4.
狭义相对论
物理定律在
Poincaré
变换下保持不变
A.4.1.
Poincaré
变换
Poincaré
变换
:
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
+
𝑎
𝜇
(4)
其中
𝑎
𝜇
为坐标平移
,
Λ
𝜇
𝜈
为
Lorentz
变换矩阵元
:
Λ
𝜇
𝜈
=
(
(
(
(
(
Λ
0
0
Λ
𝑖
0
Λ
0
𝑗
Λ
𝑖
𝑗
)
)
)
)
)
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
𝜂
𝜇
𝜈
=
𝜂
𝜌
𝜎
det
(
Λ
)
=
±
1
(5)
𝜂
𝜇
𝜈
为度规
:
𝜂
=
diag
(
−
1
,
1
,
1
,
1
)
(6)
A.4.2.
Lorentz
变换
特别地
,
𝐾
′
系相对于
𝐾
系以速度
𝑣
沿
𝑥
轴正方向运动的
Lorentz
变换
:
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
𝑡
′
=
𝛾
(
𝑡
−
𝑣
𝑐
2
𝑥
)
⇒
𝛾
(
𝑡
−
𝑣
𝑥
)
𝑥
′
=
𝛾
(
𝑥
−
𝑣
𝑡
)
𝑦
′
=
𝑦
𝑧
′
=
𝑧
(7)
其中
𝛾
=
1
√
1
−
𝛽
2
,
𝛽
=
𝑣
𝑐
=
𝑣
(8)
这里取自然单位制
𝑐
=
ℏ
=
1
.
Poicaré
变换又叫
非齐次
Lorentz
变换
:
•
𝑎
𝜇
=
0
时为齐次
(
homogeneous) Lorentz
变换
:
‣
det
(
Λ
)
=
1
为正齐次
(
proper) Lorentz
变换
‣
det
(
Λ
)
=
−
1
为非正齐次
(
improper) Lorentz
变换
A.5.
粒子动力学
质量
𝑚
的粒子在时空中的轨迹为
𝑥
𝜇
,
𝜏
为其固有时
,
则其
4
-
速度为
:
𝑈
𝜇
≔
d
𝑥
𝜇
(
𝜏
)
d
𝜏
(9)
对于
4
-
速度
𝑈
𝜇
,
有
:
𝜂
𝜇
𝜈
𝑈
𝜇
𝑈
𝜈
=
𝑈
𝜇
𝑈
𝜇
=
d
𝑠
2
d
𝜏
2
=
1
(
d
𝑠
=
𝑐
d
𝜏
=
d
𝜏
)
(10)
受
4
-
力
𝐹
𝜇
作用的粒子
,
运动满足
:
𝐹
𝜇
=
𝑚
d
𝑈
𝜇
d
𝜏
=
𝑚
d
2
𝑥
𝜇
d
𝜏
2
(11)
1.
当粒子静止时
,
有
d
𝑥
0
=
d
𝜏
,
𝑈
0
=
d
𝜏
d
𝜏
=
1
,
𝐹
0
=
0
,
𝐹
𝜇
=
(
0
,
⃗
𝐹
)
(12)
此时回到牛顿力学
:
𝐹
𝑖
=
𝑚
d
2
𝑥
𝑖
d
𝜏
2
(13)
2.
d
𝑥
𝜇
和
d
𝐹
𝜇
Lorentz
协变
:
d
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
d
𝑥
𝜈
,
d
𝐹
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
d
𝐹
𝜈
(14)
3.
𝐹
𝜇
总与
𝑈
𝜇
垂直
,
因为
d
d
𝜏
(
𝜂
𝜇
𝜈
𝑈
𝜇
𝑈
𝜈
)
=
2
𝜂
𝜇
𝜈
𝑈
𝜇
d
𝑈
𝜈
d
𝜏
=
2
𝑚
𝜂
𝜇
𝜈
𝑈
𝜇
𝐹
𝜈
=
0
(15)
A.6.
电动力学
电磁
4-
矢势
:
𝐴
𝜇
=
(
(
(
𝜙
𝑐
,
𝐴
𝑖
)
)
)
,
𝐴
𝜇
=
(
(
(
−
𝜙
𝑐
,
𝐴
𝑖
)
)
)
(16)
电磁场张量
:
𝐹
𝜇
𝜈
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
0
𝐸
1
𝑐
𝐸
2
𝑐
𝐸
3
𝑐
−
𝐸
1
𝑐
0
−
𝐵
3
𝐵
2
−
𝐸
2
𝑐
𝐵
3
0
−
𝐵
1
−
𝐸
3
𝑐
−
𝐵
2
𝐵
1
0
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
,
𝐹
𝜇
𝜈
=
𝜕
𝜇
𝐴
𝜈
−
𝜕
𝜈
𝐴
𝜇
,
𝐹
𝜇
𝜈
=
𝜂
𝜇
𝜌
𝜂
𝜈
𝜎
𝐹
𝜌
𝜎
(17)
此外有电流密度
4
-
矢量
𝐽
𝜇
=
𝜌
𝑒
𝑈
𝜇
(18)
𝜌
为电荷密度
.
Maxwell
方程可以写成电磁场张量的形式
:
𝜕
𝜈
𝐹
𝜇
𝜈
=
𝜇
0
𝐽
𝜇
⟺
{
{
{
{
{
{
{
𝛁
·
⃗
𝐸
=
𝜌
𝑒
𝑐
𝛁
×
⃗
𝐵
=
1
𝑐
2
𝜕
𝐸
𝜕
𝑡
+
𝜇
0
⃗
𝐽
𝜕
𝜇
𝐹
𝜈
𝜎
+
𝜕
𝜈
𝐹
𝜎
𝜇
+
𝜕
𝜎
𝐹
𝜇
𝜈
=
0
⟺
{
{
{
{
{
{
{
𝛁
·
⃗
𝐵
=
0
𝛁
×
⃗
𝐸
=
−
𝜕
⃗
𝐵
𝜕
𝑡
(19)
电流守恒可以用
4-
矢量写成
:
𝜕
𝜇
𝐽
𝜇
=
0
(20)
Lorentz
力
:
𝐹
𝜇
=
𝑞
𝜂
𝜇
𝜎
𝐹
𝜎
𝜈
𝑈
𝜈
(21)
A.7.
能量
-
动量
-
应力张量
𝑇
𝜇
𝜈
=
1
𝜇
0
(
𝐹
𝜇
𝜎
𝐹
𝜈
𝜎
−
1
4
𝜂
𝜇
𝜈
𝐹
𝜌
𝜎
𝐹
𝜌
𝜎
)
=
(
(
(
(
(
𝜌
𝐸
𝑀
1
𝑐
𝑆
𝑖
1
𝑐
𝑆
𝑗
−
𝜎
𝑖
𝑗
)
)
)
)
)
(22)
有如下性质
:
1.
(
对称性
)
𝑇
𝜇
𝜈
=
𝑇
𝜈
𝜇
(23)
2.
𝜂
𝜇
𝜈
𝑇
𝜇
𝜈
=
0
(24)
(
作业题
)
3.
𝜕
𝜇
𝑇
𝜇
𝜈
=
−
𝐹
𝜈
𝜎
𝐽
𝜎
(25)
(
作业题
)
特别地
,
在无源时
:
𝜕
𝜇
𝑇
𝜇
𝜈
=
0
(26)
A.8.
相对论流体力学
理想流体的能量
-
动量张量
:
𝑇
𝜇
𝜈
=
𝑝
𝜂
𝜇
𝜈
+
(
𝜌
+
𝑝
)
𝑈
𝜇
𝑈
𝜈
(27)
其中
𝜌
为固有能量密度
,
𝑝
为压强
.
B.
流形
DEFINITION
1
:
(
流形
)
流形
𝑀
是这样一个集合
,
∀
𝑝
∈
𝑀
,
∃
𝑈
𝑝
(p
点的领域
)
上有两套坐标
(
𝑈
1
,
𝑥
𝑖
)
,
(
𝑈
2
,
𝑦
𝑖
)
,
𝑈
1
∩
𝑈
2
≠
∅
,
这两套坐标间存在坐标变换
𝑥
𝑖
(
𝑦
𝑗
)
and
𝑦
𝑖
(
𝑥
𝑗
)
满足
:
1.
𝑥
𝑖
(
𝑦
𝑗
)
and
𝑦
𝑖
(
𝑥
𝑗
)
光滑
,
2.
𝜕
𝑥
𝑖
𝜕
𝑦
𝑗
and
𝜕
𝑦
𝑖
𝜕
𝑥
𝑗
可逆
.
则称
𝑀
是一个
微分流形
.
其中坐标的个数称为
𝑀
的维数
.
例
:
1
.
ℝ
𝑛
,
2
.
𝑆
2
(
作业题
)
,
3
.
𝑇
2
.
B.1.
流形上的向量
我们先来定义曲线
:
DEFINITION
2
:
(
曲线
)
对于区间
𝐼
∈
ℝ
映射
𝛾
:
𝐼
→
𝑀
是连续的
,
称为
𝑀
上的一条
曲线
.
对于
𝑝
∈
𝑀
,
在
𝑝
点坐标下
,
𝛾
𝑖
(
𝜆
)
为
𝑘
次光滑的
,
那么称
𝛾
为
𝑘
次光滑的
.
我们记
𝑓
为
𝑀
上的
光滑函数
𝑓
:
𝑀
→
𝑅
,
则有
:
𝑓
∘
𝛾
:
𝐼
→
ℝ
,
记为
:
𝑓
(
𝑥
𝑖
(
𝜆
)
)
≡
𝑓
(
𝜆
)
.
记
ℱ
为
𝑀
上的全体光滑函数
.
给出如下映射
:
𝑣
(
𝑓
)
=
d
d
𝜆
𝑓
(
𝜆
)
|
𝑝
:
ℱ
→
ℝ
(28)
显然
,
𝑣
是线性的
:
𝑣
(
𝛼
𝑓
+
𝛽
𝑔
)
=
𝛼
𝑣
(
𝑓
)
+
𝛽
𝑣
(
𝑔
)
(29)
且
𝑣
与
𝜆
有关
.
我们称
𝑣
为曲线
𝛾
(
𝜆
)
在
𝑃
点的
切向量
.
DEFINITION
3
:
(
向量
)
𝑣
:
ℱ
→
ℝ
称为
𝑝
点上的一个
向量
,
若满足
:
1.
(
线性
)
𝑣
(
𝛼
𝑓
+
𝛽
𝑔
)
=
𝛼
𝑣
(
𝑓
)
+
𝛽
𝑣
(
𝑔
)
,
2.
(Leibnitz
律
)
𝑣
(
𝑓
𝑔
)
=
𝑓
|
𝑝
𝑣
(
𝑔
)
+
𝑣
(
𝑓
)
𝑔
|
𝑝
我们将
𝑝
处所有可能的
𝑣
记作集合
𝑉
𝑝
.
CLAIM
1
:
𝑉
𝑝
是一个
线性空间
.
PROOF :
1.
(
零元
)
存在单点曲线
𝛾
0
(
𝜆
)
:
𝐼
→
𝑃
;
2.
(
加法
)
流形
𝑀
里
𝑝
点的领域存在曲线间加法
𝛾
𝑖
1
(
𝜆
)
+
𝛾
𝑖
2
(
𝜆
)
=
𝛾
𝑖
3
(
𝜆
)
(30)
可以证明存在加法关系
𝑣
1
+
𝑣
2
=
𝑣
3
(31)
(
作业题
);
3.
(
数乘
)
对于流形上的向量
𝑣
→
𝛾
(32)
有
(
𝛼
𝛾
)
→
𝛾
(
𝑐
𝜆
)
(33)
(
作业题
).
下面我们定义两个向量的等价
:
DEFINITION
4
:
(
等价
)
向量
𝑣
1
与
𝑣
2
等价
iff (if and only if)
∀
𝑓
∈
ℱ
,
𝑣
1
(
𝑓
)
=
𝑣
2
(
𝑓
)
(34)
记
𝑣
1
∼
𝑣
2
.
̃
𝑉
𝑝
通过等价关系
∼
与
𝑉
𝑝
联系
:
𝑉
𝑝
=
̃
𝑉
𝑝
/
∼
.
𝑉
𝑝
也称为
𝑝
点在
𝑀
上的
切空间
.
我们记
𝜕
𝑖
为
𝑝
处坐标
𝑥
𝑖
对应的坐标曲线或
切向量
{
𝜕
𝑖
}
(
𝑛
个
).
CLAIM
2
:
{
𝜕
𝑖
}
为
𝑉
𝑝
的一组基
.
PROOF :
我们这里先不把
𝜕
𝑖
视为偏微分算符
:
1.
(
完备性
)
∀
𝑓
∈
ℱ
,
𝑣
(
𝑓
)
=
d
d
𝜆
𝑓
(
𝑥
𝑖
(
𝜆
)
)
|
𝜆
=
0
(
𝑝
点在
𝜆
=
0
处
)
=
(
𝜕
𝑖
𝑓
)
|
𝑝
d
𝑥
𝑖
d
𝜆
|
𝜆
=
0
(
将
𝑣
在基下展开
)
(35)
注意到
(
𝜕
𝑖
𝑓
)
=
d
𝑓
d
𝑥
𝑖
=
lim
Δ
𝑥
→
0
𝑓
(
𝑥
+
Δ
𝑥
𝑖
)
−
𝑓
(
𝑥
)
Δ
𝑥
𝑖
=
𝜕
𝑖
𝑓
(36)
也就是说
𝜕
𝑖
就是偏微分算符
.
2.
(
线性独立
)
∃
𝑐
𝑖
≠
0
,
𝑐
𝑖
𝜕
𝑖
(
𝑓
)
=
0
(37)
取
𝑓
=
𝑥
𝑖
,
有
:
𝑐
𝑖
(
𝜕
𝑖
𝑥
𝑗
)
=
𝑐
𝑖
𝛿
𝑗
𝑖
=
0
⟹
𝑐
𝑖
=
0
(38)
这里提一下
Einstein
求和约定
:
DEFINITION
5
:
(Einstein
求和约定
)
𝑣
=
∑
𝑛
𝑖
=
1
𝛼
𝑖
𝑣
𝑖
=
𝛼
𝑖
𝑣
𝑖
(39)
因此我们可以将切向量
𝑣
记成
:
𝑣
=
𝑣
𝑖
𝜕
𝑖
(40)
其中记
𝑣
𝑖
为
𝑣
的
𝑥
𝑖
坐标分量
.
我们将
𝑣
作用在坐标
𝑥
𝑖
上
:
𝑣
(
𝑥
𝑖
)
=
(
𝛼
𝑗
𝜕
𝑗
)
(
𝑥
𝑖
)
=
𝛼
𝑗
(
𝜕
𝑗
𝑥
𝑖
)
=
𝛼
𝑗
𝛿
𝑖
𝑗
=
𝛼
𝑖
=
(
̃
𝛼
𝑗
̃
𝜕
𝑗
)
(
𝑥
𝑖
)
=
̃
𝛼
𝑗
(
̃
𝜕
𝑗
𝑥
𝑖
)
=
̃
𝛼
𝑗
𝜕
𝑥
𝑖
𝜕
𝑦
𝑗
(41)
⟹
𝛼
𝑖
=
̃
𝛼
𝑗
𝜕
𝑥
𝑖
𝜕
𝑦
𝑗
⟹
𝜕
𝑦
𝑖
=
𝜕
𝑥
𝑖
𝜕
𝑦
𝑗
𝜕
𝑥
𝑗
(42)
其中
̃
𝛼
,
̃
𝜕
对应
{
𝑦
𝑗
}
坐标
.
B.2.
向量场
DEFINITION
6
:
(
向量场
)
𝑣
(
𝑥
)
为
𝑀
上的
向量场
.
∀
𝑓
∈
ℱ
,
若
𝑣
(
𝑓
)
为
𝑘
次光滑的
,
那么称向量场是
𝑘
次光
滑的
.
CLAIM
3
:
𝑣
的光滑性
⟺
𝑣
𝑖
的光滑性
.
DEFINITION
7
:
(
向量场的交换
)
向量场的交换定义为
[
𝑢
,
𝑣
]
(
𝑓
)
=
𝑢
(
𝑣
(
𝑓
)
)
−
𝑣
(
𝑢
(
𝑓
)
)
(43)
CLAIM
4
:
[
𝑢
,
𝑣
]
𝑖
=
𝑢
𝑗
𝜕
𝑗
𝑣
𝑖
−
𝑣
𝑗
𝜕
𝑗
𝑢
𝑖
(44)
PROOF :
考虑
[
𝑢
,
𝑣
]
𝑖
=
[
𝑢
,
𝑣
]
𝑥
𝑖
,
代入
:
𝑢
=
𝑢
𝑖
𝜕
𝑖
,
𝑣
=
𝑣
𝑗
𝜕
𝑗
,
有
:
[
𝑢
,
𝑣
]
𝑖
=
[
𝑢
,
𝑣
]
𝑥
𝑖
=
𝑢
(
𝑣
(
𝑥
𝑖
)
)
−
𝑣
(
𝑢
(
𝑥
𝑖
)
)
=
𝑢
𝑗
𝜕
𝑗
(
𝑣
𝑘
𝜕
𝑘
𝑥
𝑖
)
−
𝑣
𝑗
𝜕
𝑗
(
𝑢
𝑘
𝜕
𝑘
𝑥
𝑖
)
=
𝑢
𝑗
𝜕
𝑗
(
𝑣
𝑘
𝛿
𝑖
𝑘
)
−
𝑣
𝑗
𝜕
𝑗
(
𝑢
𝑘
𝛿
𝑖
𝑘
)
=
𝑢
𝑗
𝜕
𝑗
𝑣
𝑖
−
𝑣
𝑗
𝜕
𝑗
𝑢
𝑖
(45)
Jacobi
恒等式
:
[
𝑢
,
[
𝑣
,
𝑤
]
]
+
[
𝑣
,
[
𝑤
,
𝑢
]
]
+
[
𝑤
,
[
𝑢
,
𝑣
]
]
=
0
(46)
DEFINITION
8
:
(
余向量
)
全体
𝑉
𝑝
上的线性函数称为
余向量
:
∀
𝑢
,
𝑣
∈
𝑉
𝑝
,
𝛼
(
𝑎
𝑣
+
𝑏
𝑢
)
=
𝑎
𝛼
(
𝑣
)
+
𝑏
𝛼
(
𝑢
)
(47)
全体余向量构成
余向量空间
𝑉
∗
𝑝
.
于是有
余切空间
:
𝛼
,
𝛽
∈
𝑉
∗
𝑝
,
(
𝑎
𝛼
+
𝑏
𝛽
)
(
𝑣
)
=
𝑎
𝛼
(
𝑣
)
+
𝑏
𝛽
(
𝑣
)
(48)
我们规定
(
d
𝑥
)
𝑖
(
𝜕
𝑗
)
≔
𝛿
𝑖
𝑗
CLAIM
5
:
(
d
𝑥
)
𝑖
为
𝑉
∗
𝑝
上的一组基
(
共
𝑛
个
).
PROOF :
1.
(
完备性
)
∀
𝑣
∈
𝑉
𝑝
,
𝜔
∈
𝑉
∗
𝑝
,
𝜔
(
𝑣
)
=
𝜔
(
𝑣
𝑖
𝜕
𝑖
)
=
𝑣
𝑖
𝜔
(
𝜕
𝑖
)
(49)
记
𝜔
(
𝜕
𝑖
)
=
𝜔
𝑖
⟹
𝜔
(
𝑣
)
=
𝑣
𝑖
𝜔
𝑖
(50)
同时构造
̃
𝜔
=
𝜔
𝑖
(
d
𝑥
)
𝑖
(51)
有
:
̃
𝜔
(
𝑣
)
=
𝜔
𝑖
(
d
𝑥
)
𝑖
(
𝑣
)
=
𝜔
𝑖
(
d
𝑥
)
𝑖
(
𝜕
𝑗
)
𝑣
𝑗
=
𝜔
𝑖
𝑣
𝑗
𝛿
𝑖
𝑗
=
𝑣
𝑖
𝜔
𝑖
(52)
(
d
𝑥
)
𝑖
是完备的
.
2.
(
线性独立
)
设
∃
𝑐
𝑖
≠
0
,
𝑐
𝑖
(
d
𝑥
)
𝑖
=
0
那么
𝑐
𝑖
(
d
𝑥
)
𝑖
(
𝜕
𝑗
)
=
0
⟹
𝑐
𝑗
=
0
∀
𝑗
(53)
余空间的余空间与原空间是
同构
的
,
可以直接定义为原空间本身
:
(
𝜕
𝑗
)
∗
∗
⟶
𝜕
𝑗
(54)
我们记
:
⟨
𝜔
,
𝑣
⟩
≔
𝜔
(
𝑣
)
=
𝑣
(
𝜔
)
=
𝜔
𝑖
𝑣
𝑖
(55)
函数的微分
∀
𝑓
∈
ℱ
,
d
𝑓
≔
𝜕
𝑓
𝜕
𝑥
𝑖
d
𝑥
𝑖
(56)
其中
d
(
𝑥
𝑖
)
=
(
d
𝑥
)
𝑖
.
这个表达式与坐标无关
(
作业题
).
CLAIM
6
:
𝜔
的光滑性
⟺
𝜔
𝑖
的光滑性
.
B.3.
张量场
DEFINITION
9
:
(
张量
)
𝑇
:
𝑉
𝑝
⊗
𝑉
𝑝
⊗
⋯
⊗
𝑉
𝑝
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝑘
个
⊗
𝑉
∗
𝑝
⊗
𝑉
∗
𝑝
⊗
⋯
⊗
𝑉
∗
𝑝
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝑙
个
⟶
ℝ
(57)
的多重线性映射称为
𝑝
点的
(
𝑘
,
𝑙
)
型
张量
.
显然
𝑇
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑘
;
𝜔
1
,
…
,
𝜔
𝑙
)
∈
ℝ
.
𝑇
是线性的
:
𝑇
(
…
,
𝛼
𝑣
𝑖
+
𝛽
𝑢
𝑖
,
…
)
=
𝛼
𝑇
(
…
,
𝑣
𝑖
,
…
)
+
𝛽
𝑇
(
…
,
𝑢
𝑖
,
…
)
(58)
(
𝛼
𝑇
+
𝛽
𝑆
)
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑘
;
𝜔
1
,
…
,
𝜔
𝑙
)
≔
𝛼
𝑇
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑘
;
𝜔
1
,
…
,
𝜔
𝑙
)
+
𝛽
𝑆
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑘
;
𝜔
1
,
…
,
𝜔
𝑙
)
(59)
式
𝑇
𝑗
1
…
𝑗
𝑙
𝑖
1
…
𝑖
𝑘
=
𝑇
(
𝜕
𝑖
1
,
…
,
𝜕
𝑖
𝑘
;
(
d
𝑥
)
𝑗
1
,
…
,
(
d
𝑥
)
𝑗
𝑙
)
(60)
称为
𝑇
的
坐标分量
.
坐标系间坐标分量的变换满足
𝑇
𝑗
1
…
𝑗
𝑙
𝑖
1
…
𝑖
𝑘
=
𝑇
𝑞
1
…
𝑞
𝑙
𝑝
1
…
𝑝
𝑘
𝜕
𝑥
𝑝
1
𝜕
𝑦
𝑖
1
⋯
𝜕
𝑥
𝑝
𝑘
𝜕
𝑦
𝑖
𝑘
𝜕
𝑦
𝑗
1
𝜕
𝑥
𝑞
1
⋯
𝜕
𝑦
𝑗
𝑙
𝜕
𝑥
𝑞
𝑙
.
(61)
(
作业题
)
DEFINITION
10
:
(
张量积
)
张量
𝑇
(
𝑘
,
𝑙
)
,
𝑆
(
𝑚
,
𝑛
)
的
张量积
记为
(
𝑇
⊗
𝑆
)
(
𝑘
+
𝑚
,
𝑙
+
𝑛
)
:
(
𝑇
⊗
𝑆
)
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑘
,
𝑣
𝑘
+
1
,
…
,
𝑣
𝑘
+
𝑢
;
𝜔
1
,
…
,
𝜔
𝑙
,
𝜔
𝑙
+
1
,
…
,
𝜔
𝑙
+
𝑚
)
=
𝑇
(
𝑣
1
,
…
,
𝑣
𝑘
;
𝜔
1
,
…
,
𝜔
𝑙
)
𝑆
(
𝑣
𝑘
+
1
,
…
,
𝑣
𝑘
+
𝑢
;
𝜔
𝑙
+
1
,
…
,
𝜔
𝑙
+
𝑚
)
(62)
⟹
(
𝑇
⊗
𝑆
)
𝑗
1
…
𝑗
𝑙
𝑗
𝑙
+
1
…
𝑗
𝑙
+
𝑚
𝑖
1
…
𝑖
𝑘
𝑖
𝑘
+
1
…
𝑖
𝑘
+
𝑢
=
𝑇
𝑗
1
…
𝑗
𝑙
𝑖
1
…
𝑖
𝑘
𝑆
𝑗
𝑙
+
1
…
𝑗
𝑙
+
𝑚
𝑖
𝑘
+
1
…
𝑖
𝑘
+
𝑢
(63)
DEFINITION
11
:
(
张量的缩并
)
𝐶
(
𝑖
𝑚
,
𝑖
𝑛
)
𝑇
=
𝑇
𝑗
1
…
𝑗
𝑘
−
1
,
𝑐
,
𝑗
𝑘
+
1
…
𝑗
𝑙
𝑖
1
…
𝑖
𝑚
−
1
,
𝑐
,
𝑖
𝑚
+
1
…
𝑖
𝑘
(64)