Quantum Field Theory
teru
โญ
ๆฌ
note
ไฝฟ็จ
Typst
ๆ็
,
็ฑไบไฝฟ็จ่ฟไธๆ็
,
ๅฆๆ
typo
ๆ่ฐข
ๆๅบ
ๆฌ
note
ไฝฟ็จไบ
physica package
,
ๅฆๆๆพ็คบ้่ฏฏ่ฏท
ๅ็ฅ
mail:
0w0@ruriko.moe
homepage:
ruriko.moe
ๆฌ
note
ๅบไบ่ดพๅฎ่ๅธ็่ฏพๅ ๅ ๅฎนๆด็
.
็ฎๅฝ
A.
็ธๅฏน่ฎบๆง้ๅญๅๅญฆๅ้กพ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
A.1. Klein-Gordon
ๆน็จ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
A.2. Dirac
ๆน็จ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
A.3.
ๅฉ็จ
K-G
ๆน็จไธ
Dirac
ๆน็จ่ฎก็ฎๆฐขๅๅญ่ฝ่ฐฑ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
A.3.1.
ไป
K-G
ๆน็จๆจๅฏผ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
A.3.2.
ไป
Dirac
ๆน็จๆจๅฏผ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
A.4.
็จ
Dirac
ๆน็จ่ฎก็ฎ็ตๅญ็ฃ็ฉ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
B. QFT
็่ฏ็
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
B.1.
ไธ็ปด็ปๅ ธๅผฆ็้ๅญๅ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
C.
็ปๅ ธๅบ่ฎบ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
C.1. Lorentz
ๅๆข
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
C.2.
ๅบ็ๅ็ฑป
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
C.3.
ๅบ็
Euler-Lagrange
ๆน็จ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
C.4.
ๅฏน็งฐๆง
Symmetry
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
D. Noether
ๅฎ็
(
ๅฏน็งฐๆง
โถ
ๅฎๆ้
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.
้ๅญๅ
K-G
ๅบ่ฎบ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.1.
ๆญฃๅ้ๅญๅ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.2.
ๅ็ฒๅญๆๅฝไธๅ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.3. Heisenberg
็ปๆฏไธ็
K-G
ๅบ่ฎบ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.4.
ๅ ๆๆง
Causality;
ไธค็นๅ ณ่ๅฝๆฐ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.5. Klein-Gordon
ๅบ่ฎบ็ไผ ๆญๅญ
propagator: Retarded propergator / Feynman propagator
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.5.1. Retarded propagator
ๆจ่ฟไผ ๆญๅญ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
E.5.2. Feynman propagator
่ดนๆผไผ ๆญๅญ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
F. Dirac
ๅบ่ฎบ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
A.
็ธๅฏน่ฎบๆง้ๅญๅๅญฆๅ้กพ
Schrรถdinger
ๆน็จ็ๆจๅฏผ
ๅ่ง่ฟไธช
note (ruriko.moe/SchrodingerEquation)
.
A.1.
Klein-Gordon
ๆน็จ
ๅฏนๅจ้
4
-
็ข้ๆ
:
๐
=
๐
๐
=
(
๐ธ
๐
,
โ
๐
)
,
๐
2
=
๐
2
๐
2
๐ธ
=
โ
โ
๐
2
๐
2
โ
๐
2
๐
4
โน
๐ธ
2
=
โ
๐
2
๐
2
+
๐
2
๐
4
(1)
ๅพๅฐ
Klein-Grdon
ๆน็จ
:
[
[
[
1
๐
2
๐
2
๐
๐ก
2
โ
๐
2
+
(
๐
๐
โ
โ
โ
)
2
]
]
]
๐
=
0
,
or
(
(
(
โก
+
(
๐
๐
โ
โ
โ
)
2
)
)
)
๐
=
0
,
ๅ ถไธญ
โก
=
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
(
d'Alembert
็ฎ็ฌฆ
)
(2)
่ฏฅๆน็จๅญๅจไธ่ฟฐไธคไธช้ฎ้ข
:
1.
่ด่ฝ่งฃ
:
ๅฏผ่ด็็ฉบไธ็จณๅฎ
.
2.
่ดๅ ็
:
ๆณขๅฝๆฐ็ๆฆ็่ฏ ้ๅคฑๆ
.
ไธ้ขๆไปฌๆฅๅๆ่ฟไธคไธช้ฎ้ข
:
1.
่ด่ฝ่งฃ
:
K-G
ๆน็จ็ๆฌๅพๆณขๅฝๆฐ
๐
KG
=
e
i
โ
โ
โ
(
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
โ
๐ธ
๐ก
)
(3)
ๆพ็ถ
,
่ฝ้ๆฌๅพๅผ
:
๐ธ
=
ยฑ
โ
๐
2
๐
2
โ
๐
2
๐
4
(4)
ๆไปฌๅ็ฐ
,
่ฝ้ๅญๅจ่ด่งฃ
โ
โ
๐
2
๐
2
โ
๐
2
๐
4
.
ๆไปฌ่ฎคไธบ้ๅญ็ณป็ปๅญๅจ่ฝ้ๆไฝ็็ฒๅญๆฐไธบ
0
็็็ฉบๆ
.
ๅจๅญๅจ
่ด่ฝ่งฃ็ๆ ๅตไธ
,
็็ฉบๆ็่ฝ้่ถไบ
โ
โ
,
ๆพ็ถ่ฟไผๅฏผ่ด็็ฉบ็ไธ็จณๅฎ
.
2.
่ดๅ ็
:
K-G
ๆน็จๅฏไปฅๅๆ่ฟ็ปญๆงๆน็จ็ๅฝขๅผ
:
๐
๐
๐ก
๐
+
ยท
โ
๐ฝ
=
0
(5)
ๅ ถไธญ
:
๐
KG
=
๐
Im
(
๐
โ
๐
๐
๐ก
๐
)
,
โ
๐ฝ
KG
=
๐
๐
2
Im
(
๐
โ
๐
)
(6)
ๆพ็ถ
,
๐
KG
ไธๆญฃๅฎ
,
ๆฆ็ๅฏๅบฆๅฏ่ฝๅบ็ฐ
๐
KG
โค
0
็ๆ ๅต
.
A.2.
Dirac
ๆน็จ
ไธบไบ่งฃๅณ่ดๅ ็้ฎ้ข
,
ๆๅบไบ
Dirac
ๆน็จ
.
Dirac
ๆน็จ้่ฟ
Schrรถdinger
ๆน็จ
i
โ
โ
โ
๐
๐
๐ก
๐
=
๐ป
๐
(7)
ๅพๅฐ
.
่่ๆณขๅฝๆฐ
๐
ๆฏไธไธช
๐
็ปด็ข้
:
๐
(
๐ฅ
,
๐ก
)
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
๐
1
๐
2
โฎ
๐
๐
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(8)
ไปคๆๆฑๆน็จๅฝขๅผไธบ
:
i
โ
โ
โ
๐
๐
๐ก
๐
=
[
โ
i
โ
โ
โ
๐
โ
๐ผ
ยท
+
๐ฝ
๐
๐
2
]
๐
(9)
ๅ ถไธญ
,
๐ผ
ๆฏ
๐
ๅ ็ฉ้ต็ข้
:
๐ผ
=
(
๐ผ
1
,
๐ผ
2
,
๐ผ
2
)
,
๐ผ
๐
(
๐
=
1
,
2
,
3
)
ๅ
๐ฝ
ไธบ็ฉ้ต
.
็ญไน็ธๅฏน่ฎบ่ฆๆฑๅฏน
ๅ ฌๅผ
ย 9
ไธค่พน็ฎ็ฌฆๅนณๆน
(
ไฝ็จไธคๆฌก
)
ไผๅๅฐ
K-G
ๆน็จ
:
(
i
โ
โ
โ
๐
๐
๐ก
)
2
๐
=
๐ป
2
๐
(10)
โน
โ
โ
โ
โ
2
๐
2
๐
๐ก
2
๐
=
โ
โ
โ
โ
2
๐
2
โ
3
๐
๐
=
1
{
๐ผ
๐
,
๐ผ
๐
}
๐
๐
๐
๐
๐
โ
i
โ
โ
โ
๐
๐
3
โ
3
๐
=
1
{
๐ผ
๐
,
๐ฝ
}
๐
๐
๐
+
๐
2
๐
4
๐ฝ
2
๐
(11)
ๅ ถไธญ
{
๐ด
,
๐ต
}
=
๐ด
๐ต
+
๐ต
๐ด
ไธบๅๅฏนๆ็ฎ็ฌฆ
.
ๅฏนๆฏไธๅผไธ
K-G
ๆน็จ
,
ๅฏไปฅๅพๅฐไปฅไธๆกไปถ
:
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
๐ผ
๐
,
๐ฝ
}
=
0
{
๐ผ
๐
,
๐ผ
๐
}
=
2
๐ฟ
๐
๐
๐
โน
(
๐ผ
๐
)
2
=
๐
๐ฝ
2
=
๐
(12)
ๆไปฌๅ็ฐ
,
ๅฝ
๐
=
4
ๆถ
,
ๅฏไปฅ้ๅ
4
ร
4
็ฉ้ตไฝฟไปฅไธๆกไปถๆ็ซ
.
ไบๆฏ
,
ๆไปฌ่ฎฐ
๐พ
=
๐พ
๐
=
(
๐พ
0
,
โ
๐พ
)
=
(
๐ฝ
,
๐ฝ
โ
๐ผ
)
(13)
ๅๆๆฑๆน็จๅฏไปฅๅไธบ
:
(
i
๐พ
๐
๐
๐
โ
๐
๐
โ
โ
โ
)
๐
(
๐ก
,
โ
๐ฅ
)
=
0
(14)
ไธๅผๅณ
Dirac
ๆน็จ
.
๐พ
๐
็้ๅๅฏไปฅๆๅค็งๅฝขๅผ
,
ไธค็งๅธธ็จ็ๅฝขๅผ
:
๐พ
0
=
(
(
(
0
๐
2
ร
2
๐
2
ร
2
0
)
)
)
,
๐พ
๐
=
(
0
โ
๐
๐
๐
๐
0
)
Chiral-Weyl basis
๐พ
0
=
(
(
(
๐
2
ร
2
0
0
โ
๐
2
ร
2
)
)
)
,
๐พ
๐
=
(
0
โ
๐
๐
๐
๐
0
)
Dirac-Pauli basis
(15)
ๆฌ
note
ไธญๆไปฌไฝฟ็จ
Chiral-Weyl basis.
ๅฏไปฅ้ช่ฏ
,
ๅฐไธๅผๅๆ่ฟ็ปญๆงๆน็จ็ๅฝขๅผ
:
๐
๐
๐ก
๐
+
๐
ยท
โ
๐
=
0
(16)
ๅ ถไธญ
๐
=
๐
โ
๐
=
|
๐
|
2
โฅ
0
,
โ
๐
=
๐
๐
โ
โ
๐ผ
๐
(17)
่งฃๅณไบ่ดๅ ็้ฎ้ข
.
Dirac
ๆน็จ็่ฝ้ๆฌๅพๅผ
๐ธ
=
ยฑ
โ
๐
2
๐
2
+
๐
2
๐
4
(18)
ๆฒกๆ่งฃๅณ่ด่ฝ่งฃ้ฎ้ข
.
ไธบไบ่งฃๅณ่ด่ฝ่งฃ้ฎ้ข
,
Dirac
ๆๅบไบ
Dirac sea
็่ฎบ
,
ๅนถไปฅๆญค้ข่จไบๆญฃ็ตๅญ็ๅญๅจ
.
A.3.
ๅฉ็จ
K-G
ๆน็จไธ
Dirac
ๆน็จ่ฎก็ฎๆฐขๅๅญ่ฝ่ฐฑ
A.3.1.
ไป
K-G
ๆน็จๆจๅฏผ
ๆไปฌๅฏน
K-G
ๆน็จไธญ็่ฝ้ไธๅจ้ๅ
"
ๆๅฐ่ฆๅ
"
ๅค็
:
๐ธ
โถ
i
โ
โ
โ
๐
๐
๐ก
+
๐
๐
๐
โถ
โ
i
โ
โ
โ
๐
+
๐
โ
๐ด
๐
(19)
ไปฃๅ ฅ
K-G
ๆน็จ
,
ๅพ
:
(
๐ธ
โ
๐
2
๐
2
โ
๐
2
๐
4
)
๐
=
0
โ
[
[
[
[
(
i
โ
โ
โ
๐
๐
๐ก
+
๐
๐
)
2
โ
๐
2
(
(
(
(
โ
i
โ
โ
โ
๐
+
๐
โ
๐ด
๐
)
)
)
)
2
โ
๐
2
๐
4
]
]
]
]
๐
=
0
(20)
ๆฐขๅๅญๆปก่ถณๅบไผฆๅฟๅๅฎๆ่งฃ
:
๐ด
๐
=
(
๐
4
๐
๐
,
0
)
,
๐
(
๐ก
,
โ
๐
)
โ
e
โ
i
๐ธ
๐ก
/
โ
โ
โ
๐
(
โ
๐
)
(21)
ไปฃๅ ฅๅ็ฎ
,
ๅพๅฎๆๆน็จ
:
[
[
[
(
(
(
๐ธ
+
๐
2
4
๐
๐
)
)
)
2
โ
โ
โ
โ
2
๐
2
๐
2
โ
๐
2
๐
4
]
]
]
๐
(
โ
๐
)
=
0
(22)
ๅฐๆณขๅฝๆฐๅๆ
๐
(
โ
๐
)
=
๐
๐
(
๐
,
๐
)
๐
๐
(
๐
)
(23)
ๅณๅฏ่งฃๅบๆฐขๅๅญ่ฝ่ฐฑๆน็จ
:
๐ธ
๐
๐
=
๐
๐
2
โ
โ
โ
โ
1
+
๐ผ
2
(
(
(
๐
โ
๐
โ
1
2
+
โ
(
๐
+
1
2
)
2
โ
๐ผ
)
)
)
2
=
๐
๐
2
[
[
[
1
โ
๐ผ
2
2
๐
2
โ
๐ผ
4
2
๐
4
(
(
(
(
(
๐
๐
+
1
2
โ
3
4
)
)
)
)
)
+
โฏ
]
]
]
(24)
๐
ไธบ่ง้ๅญๆฐ
.
ๅ ถไธญ็ฌฌไธ้กนๆฏ้ๆญข่ดจ้
,
็ฌฌไบ้กนๆฏ
Bohr
่ฝ็บง
,
็ฌฌไธ้กนๅณไธบ็ธๅฏน่ฎบๅธฆๆฅ็ไฟฎๆญฃ
.
็ฌฌไธ้กน็็ธๅฏน่ฎบไฟฎๆญฃไปไธๅฎ
้ช็ปๆๆไธๅฎ่ฏฏๅทฎ
.
ๆไปฌ่่
Dirac
ๆน็จ
.
A.3.2.
ไป
Dirac
ๆน็จๆจๅฏผ
ๅ็
,
ๆไปฌๅฏน
Dirac
ไฝๆๅฐ่ฆๅๅค็
:
(
i
โ
โ
โ
๐
๐
๐ก
+
๐
๐
)
๐
=
(
โ
i
โ
โ
โ
๐
+
๐
๐
โ
๐ด
)
ยท
โ
๐ผ
๐
+
๐ฝ
๐
๐
2
๐
,
{
{
{
{
{
๐
๐
=
๐
2
4
๐
๐
โ
๐ด
=
0
โน
[
๐ป
,
โ
i
โ
โ
โ
โ
๐
ร
๐
+
โ
โ
โ
โ
๐
2
]
=
0
(25)
่งฃๅพ่ฝ็บงไธบ
:
๐ธ
๐
๐
=
๐
๐
2
โ
โ
โ
โ
1
+
๐ผ
2
(
(
(
๐
โ
๐
โ
1
2
+
โ
(
๐
+
1
2
)
2
โ
๐ผ
2
)
)
)
2
=
๐
๐
2
[
[
[
1
โ
๐ผ
2
2
๐
2
โ
๐ผ
4
2
๐
4
(
(
(
(
(
๐
๐
+
1
2
โ
3
4
)
)
)
)
)
+
โฏ
]
]
]
(26)
๐
ไธบๆป้ๅญๆฐ
.
ๆญค้กน็ปๆไธๅฎ้ชๅปๅ่พๅฅฝ
.
A.4.
็จ
Dirac
ๆน็จ่ฎก็ฎ็ตๅญ็ฃ็ฉ
่ง
J. J. Sakurai
Modern Quantum Mechanics
8.2.4
B.
QFT
็่ฏ็
B.1.
ไธ็ปด็ปๅ ธๅผฆ็้ๅญๅ
่่
๐
ไธช่ดจ้
๐
็็ฎ่ฐๆฏๅญ็ปๆ็ไธ็ปด้พ
,
ๆป้ฟ
๐ฟ
0
=
๐
๐
,
ๅนณ่กก็ถๆไธๆฏไธชๆฏๅญ็ธ่ทไธบ
๐
,
่ฎฐ
๐
๐
ไธบ็ฌฌ
๐
ไธชๆฏ
ๅญ
,
ๅ ถไฝ็ฝฎไธบ
๐
๐
.
่ฅๆฏๅญ
๐
๐
ไบง็ไบไธไธชๅฐๅ็งป
,
ๅๅ ถๅจ่ฝ
๐
=
โ
๐
๐
=
1
1
2
๐
๐ฃ
2
๐
=
โ
๐
๐
=
1
1
2
๐
ฬ
๐
2
๐
=
1
2
๐
โ
๐
๐
=
1
(
d
๐
d
๐ก
)
2
(27)
ๅฟ่ฝ
:
๐
=
โ
๐
๐
=
1
1
2
๐
(
๐
๐
+
1
โ
๐
๐
)
2
(28)
ๅ่ฟ็ปญๆ้
:
๐
โ
โ
,
๐
โ
0
(29)
ๅพๅฐ
:
๐
=
1
2
๐
โ
๐
๐
=
1
(
d
๐
d
๐ก
)
2
=
1
2
๐
๐
โ
๐
๐
=
1
๐
(
d
๐
d
๐ก
)
2
=
1
2
๐
โซ
๐ฟ
0
0
d
๐ฅ
(
๐
๐
(
๐ฅ
,
๐ก
)
๐
๐ก
)
2
๐
=
1
2
๐
๐
โ
๐
๐
=
1
๐
(
๐
๐
+
1
โ
๐
๐
๐
)
2
=
1
2
๐ฏ
โซ
๐ฟ
0
0
d
๐ฅ
(
๐
๐
(
๐ฅ
,
๐ก
)
๐
๐ฅ
)
2
(30)
ๅ ถไธญ
๐
=
๐
/
๐
ไธบๅผฆ็็บฟๅฏๅบฆ
[
๐
/
๐ฟ
]
,
๐ฏ
=
๐
๐
ไธบๅผฆ็ๆจๆฐๆจก้
(
ๅผ ๅ
)
[
๐ธ
/
๐ฟ
]
.
ไบๆฏๆไปฌๅพๅฐ
Lagrangian:
๐ฟ
=
๐
โ
๐
=
โซ
๐ฟ
0
0
d
๐ฅ
[
[
[
1
2
๐
(
๐
๐
๐
๐ก
)
2
โ
1
2
๐ฏ
(
๐
๐
๐
๐ฅ
)
2
]
]
]
(31)
่ฎฐ
๐ข
(
๐ก
,
๐ฅ
)
=
โ
๐
๐
(
๐ก
,
๐ฅ
)
,
๐
=
โ
๐ฏ
๐
(32)
ๆ
:
๐ฟ
=
1
2
โซ
๐ฟ
0
0
d
๐ฅ
[
[
[
[
(
(
(
(
๐
(
โ
๐
๐
)
๐
๐ก
)
)
)
)
2
โ
(
๐ฏ
๐
)
(
(
(
(
๐
(
โ
๐
๐
)
๐
๐ฅ
)
)
)
)
2
]
]
]
]
=
1
2
โซ
๐ฟ
0
0
d
๐ฅ
[
[
[
(
๐
๐ข
๐
๐ก
)
2
โ
๐
2
(
๐
๐ข
๐
๐ฅ
)
2
]
]
]
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
Lagrangian density
โ
(33)
๐
ๅณๆณข้
.
ๆ ๆไปฌๆ
Euler-Lagrange
ๆน็จ
:
๐
2
๐ข
๐
๐ก
2
โ
๐
2
๐
2
๐ข
๐
๐ฅ
2
=
0
(34)
ไปคๅผฆไธค็ซฏๅบๅฎ
,
ๆ่พน็ๆกไปถ
:
๐ข
(
๐ก
,
๐ฅ
=
0
)
=
๐ข
(
๐ก
,
๐ฅ
=
๐ฟ
0
)
=
0
(35)
ๆไปฌๅฐ
๐ข
(
๐ก
,
๐ฅ
)
ๅจไฝๅฝข็ฉบ้ด
Fourier
ๅฑๅผ
:
๐ข
(
๐ก
,
๐ฅ
)
=
โ
โ
๐
=
1
๐
๐
(
๐ก
)
sin
(
๐
๐
๐ฅ
๐
)
,
๐
๐
=
๐
๐
๐
๐ฟ
0
(36)
๐
๐
ๅณๆญฃๅ่ง้ข็
.
ไปฃๅ ฅ
Lagrangian
่กจ่พพๅผ
:
๐ฟ
=
๐ฟ
0
4
โ
โ
๐
=
1
[
ฬ
๐
2
๐
(
๐ก
)
โ
๐
2
๐
๐
2
๐
(
๐ก
)
]
(37)
ๆไปฌไนๅฏไปฅๅพๅฐ็ธๅบ็
Euler-Language
ๆน็จ
:
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
+
๐
2
๐
๐
2
๐
(
๐ก
)
=
0
(38)
ๆไปฌๅฎไนๆญฃๅๅจ้
๐
๐
=
๐
๐ฟ
๐
ฬ
๐
๐
=
๐ฟ
0
2
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
(39)
ๅ
Legendre
ๅๆข
:
๐ป
=
โ
โ
๐
=
1
๐
๐
ฬ
๐
๐
โ
๐ฟ
=
โ
โ
๐
=
1
(
(
(
(
๐
2
๐
๐ฟ
0
+
๐ฟ
0
4
๐
2
๐
๐
2
๐
)
)
)
)
(40)
้ๅญๅๅญฆไธญ
,
ๅจ้ไธไฝ็ฝฎ็ฎ็ฌฆๆปก่ถณ
[
ฬ
๐
,
ฬ
๐ฅ
]
=
โ
i
โ
โ
โ
.
ๅจ่ฟ้
,
ๆไปฌๅฐไฝ็ฝฎ
๐
๐
ๅๆญฃๅๅจ้
๐
๐
็ไฝ
้ๅญ
็ฎ็ฌฆ
,
ๅนถๆปก่ถณ
ๅฏนๆๅ ณ็ณป
(
็ญๆถ
้ๅญๅๆกไปถ
):
[
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
,
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
]
=
โ
i
โ
โ
โ
๐ฟ
๐
๐
,
[
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
,
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
]
=
[
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
,
ฬ
๐
๐
(
๐ก
)
]
=
0
(41)
ๆไปฌๅๅฟ้ๅญๅๅญฆ้็็ฎ่ฐๆฏๅญๆจกๅ
,
ๅฏไปฅ็จ็ฒๅญๆฐ็ฎ็ฌฆ่กจ็คบไธบ
ฬ
๐ฅ
=
โ
โ
โ
โ
2
๐
๐
(
๐
+
๐
โ
)
,
ฬ
๐
=
โ
i
โ
๐
โ
โ
โ
๐
2
(
๐
โ
๐
โ
)
ฬ
๐ป
=
โ
โ
โ
๐
(
๐
โ
๐
+
1
2
)
,
๐
|
๐
โฉ
=
โ
๐
|
๐
โ
1
โฉ
,
๐
โ
=
โ
๐
+
1
|
๐
+
1
โฉ
[
๐
,
๐
โ
]
=
1
(42)
ๅ ถไธญ
๐
ไธบไธ้็ฎ็ฌฆ
(
lowering operator),
๐
โ
ไธบไธๅ็ฎ็ฌฆ
(
raising operator).
ๅๆ ท็
,
ๆไปฌๅฏไปฅๅฐไธๆ็ปๅบ็
๐
๐
่กจ็คบไธบ
:
ฬ
๐
๐
=
โ
โ
โ
โ
๐ฟ
0
๐
๐
(
๐
๐
e
โ
i
๐
๐
๐ก
+
๐
โ
๐
e
i
๐
๐
๐ก
)
(
(
(
(
โ
ฬ
๐ฅ
=
โ
โ
โ
โ
2
๐
๐
(
๐
+
๐
โ
)
)
)
)
)
(43)
ๅ ถไธญ
,
๐
๐
ไธบๆนฎ็ญ็ฎ็ฌฆ
(
annihilation operator),
๐
โ
๐
ไธบไบง็็ฎ็ฌฆ
(
creation operator).
่ฅ่ฆๆปก่ถณ
ๅ ฌๅผ
ย 41
็้ๅญๅ
ๆกไปถ
,
ๅบๆ
:
[
๐
๐
,
๐
โ
๐
]
=
๐ฟ
๐
๐
(
โ
[
๐
,
๐
โ
]
=
1
)
[
๐
๐
,
๐
๐
]
=
[
๐
โ
๐
,
๐
โ
๐
]
=
0
(44)
ๆ
ๅ ฌๅผ
ย 41
ไนๅฏไปฅ็ปๅบ
ฬ
๐
๐
=
โ
i
โ
๐ฟ
0
๐
๐
โ
โ
โ
4
(
๐
๐
e
โ
i
๐
๐
๐ก
โ
e
i
๐
๐
๐ก
)
(45)
ๅฐไบง็ๆนฎ็ญ็ฎ็ฌฆ็ปๅบ็
ฬ
๐
๐
ไธ
ฬ
๐
๐
ไปฃๅ ฅ
Hamiltonian
็่กจ่พพๅผ
,
ๅฏไปฅๅพๅฐ
:
๐ป
=
โ
โ
๐
=
1
โ
โ
โ
๐
๐
(
๐
โ
๐
๐
๐
+
1
2
)
(46)
ๅ ๆญค
,
ๆไปฌๅฏไปฅๆ้ๅญๅบ็่งฃไธบๆ ็ฉทๅคไธช่ฐๆฏๅญ็่ๅ
.
ๅฏนไบๅบๆ
|
0
โฉ
,
ๆ
๐
๐
|
0
โฉ
=
0
,
โ
๐
=
1
,
โฆ
,
โ
(47)
๐ป
๐
โ
๐
|
0
โฉ
=
[
๐ป
,
๐
โ
๐
]
|
0
โฉ
+
๐
โ
๐
๐ป
|
0
โฉ
=
โ
โ
โ
๐
๐
๐
โ
๐
|
0
โฉ
+
๐ธ
0
๐
โ
๐
|
0
โฉ
=
(
๐ธ
0
+
โ
โ
โ
๐
๐
)
๐
โ
๐
|
0
โฉ
(48)
ๅ ๆญคๆไปฌ็งฐ
๐
๐
ไธบๆนฎ็ญ็ฎ็ฌฆ
,
๐
โ
๐
ไธบไบง็็ฎ็ฌฆ
.
้ๅญๅผฆ็่ฝ้ๆฌๅพๆไธบ
|
๐
1
,
โฆ
,
๐
๐
,
โฆ
,
๐
๐
โฉ
(49)
ๅ ถไธญ
๐
๐
ไธบ
๐
๐
ๆจกๅผ็็ฒๅญ
(
ๅ ๅญ
)
ๆฐ
.
ๆ่ฟฐ่ฟไธชๆฌๅพๆ็็ฉบ้ด็งฐไธบ
Fork space:
โฑ
=
โจ
๐
๐ป
๐
(50)
ๅ ถไธญ
๐ป
๐
ไธบๅบๅฎไบ
๐
ไธช็ฒๅญ
(
ๅ ๅญ
)
็
Hilbert
็ฉบ้ด
.
็ฑๆญคๆไปฌๅฏไปฅๆ
(
๐
โ
)
๐
่ฏ ้ไธบไบง็
๐
ไธช็ฒๅญ
โโโ
็ฒๅญๆฏๅบๆฟๅๅฏนๅบ็้ๅญ
.
้ถ็น่ฝ
๐ป
|
0
โฉ
=
๐ธ
0
|
0
โฉ
=
โ
โ
๐
=
1
1
2
โ
โ
โ
๐
๐
โ
โ
โ
1
๐
(51)
ๆไปฌๅ็ฐ่ฟไธช็บงๆฐๆฏๅๆฃ็
.
ไธบไบ่งฃๅณ่ฟไธช้ฎ้ข
,
ๆไปฌๆชๆฅไผๅผๅ ฅ
"
้ๆดๅ
".
C.
็ปๅ ธๅบ่ฎบ
ๅจๅบ่ฎบไธญ
,
ๆไปฌ้็จ่ช็ถๅไฝๅถ
(
God given unit/natural unit):
โ
โ
โ
=
๐
=
1
(52)
ๅจๆญคๅไฝๅถไธ
,
ๆไปฌๆ
:
[
๐ธ
]
=
1
=
[
๐
]
=
[
๐
]
[
๐ฟ
]
=
[
๐ก
]
=
โ
1
(53)
็ปๅ ธๅบ็
Lagrangian
ๅฏไปฅๅๆๅฆไธๅฝขๅผ
:
๐ฟ
=
โซ
d
3
๐ฅ
โ
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
,
๐
=
โซ
๐ฟ
d
๐ก
(54)
ๅ ถไธญไฝ็จ้
๐
ๆฏไธไธช
Lorentz
ๆ ้
(
Lorentz Scalar).
ๅ ๆญคๆ
:
๐
=
โซ
d
๐ก
d
๐ฅ
3
โ
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
โซ
d
4
๐ฅ
โ
(
๐ฅ
)
(55)
ๅจไธๅผไธญ
,
ไฝ็จ้
๐
ๆฏไธไธชๅฎๆ ้
,
d
4
๐ฅ
ๆฏ
Lorentz
ไธๅ้
(
Lorentz invariance),
ๅ ๆญคๆไปฌ่ฆๆฑๆๆ ผๆๆฅๅฏๅบฆ
(
Larangian density)
โ
(
๐ฅ
)
ๆฏไธไธช
Lorentz
ไธๅ้
.
C.1.
Lorentz
ๅๆข
ๅฏนไบ
4-
็ข้
๐ฅ
๐
=
(
๐ก
,
๐ฅ
1
,
๐ฅ
2
,
๐ฅ
3
)
,
ๅ ถ
Lorentz
ๅๆข
๐ฅ
๐
โถ
ฮ
๐
๐
๐ฅ
๐
=
๐ฅ
โฒ
๐
(56)
ๅๆข
ฮ
ๅ ๅซไบ็ฉบ้ดไธ็่ฝฌๅจๅๆขๅๆถ็ฉบไธ็
boost
ๅๆข
,
ๆฏๅฆ็ป
๐ฅ
่ฝด็่ฝฌๅจๅๆข
:
ฮ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
1
1
cos
๐
๐ฅ
โ
sin
๐
๐ฅ
sin
๐
๐ฅ
cos
๐
๐ฅ
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(57)
๐ฅ
ๅ
๐ก
ไธ็
boost
ๅๆข
ฮ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
๐พ
๐พ
๐ฃ
๐พ
๐ฃ
๐พ
1
1
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(58)
่ฟ้ๆไปฌๅฎไนๅฟซๅบฆ
๐ฝ
๐ฝ
=
1
2
ln
1
+
๐ฃ
1
โ
๐ฃ
(59)
ๆ
:
cosh
๐ฝ
=
๐พ
=
1
โ
1
โ
๐ฃ
2
sinh
๐ฝ
=
๐พ
๐ฃ
(60)
ไบๆฏ
,
ๅๆข็ฉ้ตไธบ
:
ฮ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
cosh
๐ฝ
sinh
๐ฝ
sinh
๐ฝ
cosh
๐ฝ
1
1
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(61)
Lorentz
ๅๆข
๐ฅ
โฒ
๐
=
ฮ
๐
๐
๐ฅ
๐
(62)
ไธๆนๅๆถ็ฉบ้ด้็้ฟๅบฆ
:
d
๐
2
=
๐
๐
๐
d
๐ฅ
โฒ
๐
d
๐ฅ
โฒ
๐
=
๐
๐
๐
d
๐ฅ
๐
d
๐ฅ
๐
(63)
ๅฐ
ๅ ฌๅผ
ย 63
ๅณไพง็ๅพฎๅ้คๅฐๅทฆไพง
,
ๅพๅฐ
:
โน
๐
๐
๐
๐
๐ฅ
โฒ
๐
๐
๐ฅ
๐
๐
๐ฅ
โฒ
๐
๐
๐ฅ
๐
=
๐
๐
๐
ฮ
๐
๐
ฮ
๐
๐
=
๐
๐
๐
โน
(
ฮ
๐
๐
)
๐ณ
๐
๐
๐
ฮ
๐
๐
=
๐
๐
๐
(64)
ๅๆ็ฉ้ตๅฝขๅผ
ฮ
๐ณ
๐
ฮ
=
๐
(65)
ไธค่พนๅ
determinant
det
(
ฮ
๐ณ
๐
ฮ
)
=
det
(
๐
)
โน
det
(
ฮ
๐ณ
)
det
(
๐
)
det
(
ฮ
)
=
det
(
๐
)
โน
det
(
ฮ
)
2
=
1
(66)
ๆไปฌๅพๅฐ
det
(
ฮ
)
=
ยฑ
1
(67)
ๅณ
Lorentz
็ฉ้ต็็นๅพๅผไธบ
ยฑ
1
.
ๆไปฌๅๅฐ
Lorentz
ๅๆข
๐
๐
๐
ฮ
๐
๐
ฮ
๐
๐
=
๐
๐
๐
(68)
ๅ
๐
=
๐
=
0
,
ๆ
:
๐
๐
๐
ฮ
๐
0
ฮ
๐
0
=
๐
0
0
=
1
โน
(
ฮ
0
0
)
2
โ
โ
3
๐
=
1
(
ฮ
๐
๐
)
2
=
1
โน
(
ฮ
0
0
)
2
=
1
+
โ
3
๐
=
1
(
ฮ
๐
๐
)
2
โฅ
1
(69)
ๅ ๆญค
,
ๆไปฌๅ็ฐ
ฮ
0
0
โฅ
+
1
or
ฮ
0
0
โค
โ
1
(70)
ๅ็ปดๆถ็ฉบไธญ็็ข้ๅๅผ ้ๅฏไปฅๆฏๅๅ
,
้ๅๆ่ ๅๅ้ๅๆททๅ็
:
1.
้ๅ้็
Lorentz
ๅๆขๅฝขๅฆ
:
๐ฅ
๐
โ
๐ฅ
โฒ
๐
=
ฮ
๐
๐
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
โ
๐
โฒ
๐
๐
=
ฮ
๐
๐
ฮ
๐
๐
๐
๐
๐
(71)
2.
ๅๅ้็
Lorentz
ๅๆขๅฝขๅฆ
:
๐ฅ
๐
โ
๐ฅ
โฒ
๐
=
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
โ
๐
โฒ
๐
๐
=
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐
๐
๐
(72)
3.
ๅๅ้ๅๆททๅ้็
Lorentz
ๅๆขๅฝขๅฆ
:
๐
๐
๐
โ
๐
โฒ
๐
๐
=
ฮ
๐
๐
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐
๐
๐
(73)
่่็ข้ๅนณๆน็
Lorentz
ๅๆข
:
๐ฅ
2
=
๐ฅ
๐
๐ฅ
๐
โถ
๐ฅ
โฒ
2
=
๐ฅ
โฒ
๐
๐ฅ
โฒ
๐
=
ฮ
๐
๐
๐ฅ
๐
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐ฅ
๐
=
(
ฮ
๐
๐
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
)
๐ฅ
๐
๐ฅ
๐
=
๐ฟ
๐
๐
๐ฅ
๐
๐ฅ
๐
=
๐ฅ
2
(74)
C.2.
ๅบ็ๅ็ฑป
ๆไปฌๅฏไปฅๆ
Lorentz
ๅๆขไธ็่กไธบๅฏนๅบ่ฟ่กๅ็ฑปไธบๆ ้ๅบ
,
็ข้ๅบ
,
ๅผ ้ๅบๅๆ้ๅบ
.
1.
ๆ ้ๅบ
๐
(
๐ฅ
)
โ
๐
โฒ
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
๐
(
๐ฅ
)
(75)
2.
็ข้ๅบ
,
ๅฆ็ต็ฃๅบ
๐ด
๐
(
๐ฅ
)
โ
๐ด
โฒ
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
ฮ
๐
๐
๐ด
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
(76)
3.
ๅผ ้ๅบ
โ
๐
๐
(
๐ฅ
)
โ
โ
โฒ
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
ฮ
๐
๐
ฮ
๐
๐
โ
๐
๐
(
๐ฅ
)
(77)
4.
ๆ้ๅบ
(
Dirac
ๅบ
)
๐
(
๐ฅ
)
โ
๐
โฒ
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
ฮ
1
2
๐
(
๐ฅ
)
"spiner-field"
(78)
ๅบ่ฎบไธญ็
Lagrangian density
ๅฏไปฅๅ ๅซๅฝขๅฆไปฅไธ่ฟไบ็้กน
:
โ
(
๐ฅ
)
โ
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
๐
๐
(
๐ฅ
)
๐
๐
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
3
(
๐ฅ
)
,
๐
1
0
0
0
0
0
9
(
๐ฅ
)
,
sin
๐
(
๐ฅ
)
,
โฆ
(79)
่ไธๅฏไปฅๅ ๅซๅ่ฟๆ ท็้กน
:
โ
(
๐ฅ
)
โ
๐
๐
๐
(
๐ฅ
)
:
็ข้
,
ไธๆปก่ถณ
Lorentz invariance
,
๐
1
โก
๐
,
โซ
d
3
๐ฆ
๐
(
๐ฅ
)
๐
(
๐ฆ
)
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
Nonlocal field
(80)
่ฟ้ๆไปฌๅบไบ็ฎๅ่่
,
่ฆๆฑๆไปฌ็ๅบ่ฎบๆฏๅฎๅ
(
ๅฑๅ
)
็
,
่ไธ่ฝๆฏ้ๅฎๅ
(
ๅ จๅฑ
)
็
.
็ฑไบ
[
d
4
๐ฅ
]
=
4
,
ๆไปฌๅ็ฐ
Lagrangian density
็้็บฒๆฏ
[
โ
]
=
+
4
. Lagrangian density
ๅฏไปฅๅๆไปฅไธ
ๅฝขๅผ
:
โ
=
๐ฆ
โ
๐ฑ
(81)
ๅ ถไธญ
๐ฆ
้กนๅฏไปฅๅฝขๅฆ
๐ฆ
โ
๐
2
(
่ช็ฑๅบ
)
,
๐
๐
๐
๐
๐
๐
,
๐
๐
๐
1
๐
๐
๐
2
,
๐
๐
๐
๐
๐
๐
โ
,
๐
๐
๐
๐ด
๐
,
โ
1
4
๐น
๐
๐
๐น
๐
๐
,
โฆ
(82)
๐ฑ
้กนๆฏ็ธไบไฝ็จ้กน
,
่ณๅฐๅ ๅซไธ็บฟๅ
๐ฑ
โ
๐
3
,
๐
4
,
๐
4
๐พ
๐
๐
๐ด
๐
,
๐
๐พ
๐
๐ด
๐พ
๐
โ
,
(
๐ด
๐พ
๐ด
๐พ
)
2
,
๐
๐
โ
๐
๐
๐
๐
โ
๐ผ
๐ฝ
โ
๐ผ
๐ฝ
,
โฆ
(83)
๐
็้็บฒ
[
๐
]
=
+
1
.
ๆไปฌ็ ็ฉถๅฝขๅฆไธๅผ็
K-G
ๅบ็
Largrangian density:
โ
KG
=
1
2
๐
๐
๐
๐
๐
โ
1
2
๐
2
๐
2
=
1
2
ฬ
๐
2
โ
1
2
๐
๐
ยท
๐
๐
โ
1
2
๐
2
๐
2
(84)
ๅจ็ปๅ ธๅๅญฆไธญๆไปฌๅฎไนๅจ้
:
๐
=
๐
๐ฟ
๐
ฬ
๐
,
ๅๆ ท็
,
ๆไปฌๅฎไนๅ ฑ่ฝญๅจ้ๅฏๅบฆ
๐
(
๐ฅ
)
=
๐
โ
๐
ฬ
๐
=
ฬ
๐
(85)
็ปๅ ธๅๅญฆไธญ้่ฟ
Legendre
ๅๆขๅฐ
Hamiltonian
ๅฎไนไธบ
๐ป
(
๐
,
๐
)
=
๐
ฬ
๐
โ
๐ฟ
,
ๅๆ ท็
,
ๆไปฌๅฎไนๅบ็
Hamiltonian density:
โ
(
๐ฅ
)
=
๐
ฬ
๐
โ
โ
(86)
ไปฃๅ ฅ
Lagrangian density,
ๆไปฌๅพๅฐ
:
โ
(
๐
,
๐
)
=
๐
ฬ
๐
โ
โ
=
1
2
๐
2
+
1
2
(
๐
๐
)
2
+
1
2
๐
2
๐
2
โฅ
0
(87)
ๆไปฌๅ็ฐ่ฟไธชๅบๅ ทๆ็จณๅฎ็ๅบๆ
.
C.3.
ๅบ็
Euler-Lagrange
ๆน็จ
่่ๅบ็ไฝ็จ้
๐
=
โซ
d
4
๐ฅ
โ
(
๐
,
๐
๐
๐
)
(88)
ๆไปฌๅฏนๅ ถๅๅๅ็ญไบ
0
:
0
=
๐ฟ
๐
=
โซ
d
4
๐ฅ
๐ฟ
โ
(
๐
,
๐
๐
๐
)
=
โซ
d
4
๐ฅ
[
[
[
[
[
[
๐
โ
๐
๐
๐ฟ
๐
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
(
๐
๐
๐
)
โ
โ
โ
โ
โ
๐
๐
๐ฟ
๐
]
]
]
]
]
]
=
โซ
d
4
๐ฅ
[
[
[
[
๐
โ
๐
๐
๐ฟ
๐
+
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
)
)
)
)
)
โ
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
๐ฟ
๐
]
]
]
]
=
โซ
d
4
๐ฅ
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
๐
โ
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
๐ฟ
๐
+
โซ
d
4
๐ฅ
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
)
)
)
)
)
(89)
็ฌฌไบ้กนๅฉ็จ
Gauss
ๅ ฌๅผ
:
โซ
d
4
๐ฅ
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
)
)
)
)
)
=
โฏ
โ
๐
ยท
d
โ
ฮฃ
=
0
(
(
(
(
(
่ฎฐ
๐
๐
=
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
)
)
)
)
)
(90)
้ฃไน็ฌฌไบ้กน็งฏๅๅบไธบ
0
,
ไบๆฏๆ
:
๐ฟ
๐
=
โซ
d
4
๐ฅ
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
๐
โ
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
๐ฟ
๐
=
0
(91)
็ฑไบ
๐ฟ
๐
็ๅๅผไปปๆ
,
้ฃไนๆไปฌๅพๅฐๅบ็
Euler-Lagrange
ๆน็จ
(
equation of motion,
่ฟๅจๆน็จ
):
๐
โ
๐
๐
โ
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
=
0
(92)
ๆไปฌๅฐไธๆไธญ็
โ
ไปฃๅ ฅ
ๅ ฌๅผ
ย 92
,
ๆ
:
๐
โ
๐
๐
=
๐
2
๐
,
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
=
โก
๐
โน
(
โก
+
๐
2
)
๐
=
0
(
K-G
ๆน็จ
)
(93)
ไน ้ข
:
1.
โ
=
1
2
(
๐
๐
๐
)
2
โ
1
2
๐
2
๐
2
โ
๐
4
!
๐
4
2.
โ
CKG
=
๐
๐
๐
๐
๐
๐
โ
โ
๐
2
|
๐
|
2
3.
โ
Max
=
โ
1
4
๐น
๐
๐
๐น
๐
๐
โ
๐ด
๐
๐
๐
C.4.
ๅฏน็งฐๆง
Symmetry
ๅฏน็งฐๆงๆฏๆ
,
ๅจ็ณป็ป็ๅจๅๅญฆไธๅ
.
็ณป็ป็ๅฏน็งฐๆง็ๅคๆฎๅฏไปฅๆฏ
,
ๅจๅฏน็งฐๆไฝไธ
:
1.
็ณป็ป็่ฟๅจๆน็จไฟๆไธๅ
;
2.
็ณป็ป็ไฝไธ้
(
action)
ไฟๆไธๅ
.
K-G
ๅบ็
Larangian:
โ
KG
=
1
2
(
๐
๐
๐
)
2
โ
1
2
๐
2
๐
2
(94)
่่
K-G
ๅบ็
Lorentz
ๅฏน็งฐๆง
:
๐ฅ
โถ
๐ฅ
โฒ
๐
=
ฮ
๐
๐
๐ฅ
๐
๐
(
๐ฅ
)
โถ
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
=
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
๐
๐
๐
(
๐ฅ
)
โถ
๐
๐
๐
โฒ
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
๐
๐ฅ
๐
=
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
(
๐
๐
๐
)
2
โถ
๐
๐
๐
๐
๐
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
๐
๐
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
=
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
๐
๐
๐
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
(
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
)
2
(95)
ๅ ๆญค็ณป็ป็ไฝ็จ้ไธๅ
,
ๆปก่ถณๅคๆฎ
2.
ๅฆๅคๆไปฌ่่่ฟๅจๆน็จ
(
โก
+
๐
2
)
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
=
(
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
+
๐
2
)
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
)
๐
๐
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
+
๐
2
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
+
๐
2
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
=
(
โก
+
๐
2
)
๐
(
ฮ
โ
1
๐ฅ
)
(96)
ๅณ็ณป็ป็่ฟๅจๆน็จไธๅ
,
ๆปก่ถณๅคๆฎ
1.
ๅฏน็งฐๆงๅฏไปฅๅไธบ
ๆถ็ฉบๅฏน็งฐๆง
ๅ
ๅ ็ฆๅฏน็งฐๆง
:
1.
ๆถ็ฉบๅฏน็งฐๆงๅณ
Lorentz
+
space-time translation,
ๅฆๅนณ็งปๅฏน็งฐๆง
,
ไผธ็ผฉๅฏน็งฐๆง
.
2.
ๅ ็ฆๅฏน็งฐๆงๅณๅ ้จๅฏน็งฐๆง
,
ๅฆ
๐
(
1
)
ๅฏน็งฐๆง
,
๐
2
ๅฏน็งฐๆง็ญ
.
็พค
๐บ
ๅณๆปก่ถณไธ่ฟฐๆกไปถ็้ๅ
:
1.
ๅฐ้ญๆง
:
โ
๐
,
๐
โ
๐บ
,
๐
๐
โ
๐บ
(97)
2.
ๆๅ
๐
3.
้ๅ
โ
๐
โ
๐บ
,
โ
๐
โ
1
โ
๐บ
(98)
4.
็ปๅๅพ
โ
๐
,
๐
,
๐
โ
๐บ
,
(
๐
๐
)
๐
=
๐
(
๐
๐
)
(99)
ๅฏน็งฐๆงๅฏไปฅๅไธบ่ฟ็ปญ
(
continuous)
ๅฏน็งฐๆงๅๅ็ซ
(
discrete)
ๅฏน็งฐๆง
.
่ฟ็ปญๅฏน็งฐๆงๅฆ
๐
(
1
)
ๅฏน็งฐๆง
.
่ฟ็ปญๅฏน็งฐๆง
ๅฏไปฅ้่ฟ
Lie
็พค
ๆฅๆ่ฟฐ
.
ๅ็ซๅฏน็งฐๆงๆ
๐
2
ๅฏน็งฐๆงๅ
๐
๐
ๅฏน็งฐๆง
.
D.
Noether
ๅฎ็
(
ๅฏน็งฐๆง
โถ
ๅฎๆ้
)
Noether theorem
:
ไธไธช็ณป็ปๅ ทๆๆ็ง่ฟ็ปญๅฏน็งฐๆง
,
ไธๅฝ่ฟๅจๆน็จไธๆพๅซๆถ้ดๆถ
,
ๅ็ณป็ปๅญๅจไธไธชๅฎๆๆต
:
๐
๐
๐
๐
=
0
(100)
PROOF :
ไฝ็จ้
๐
=
โซ
d
4
๐ฅ
โ
(
๐
,
๐
๐
๐
)
(101)
ๅๅๅ
:
๐ฟ
๐
=
โซ
d
4
๐ฅ
[
๐ฟ
(
d
4
๐ฅ
)
โ
+
d
4
๐ฅ
๐ฟ
โ
(
๐
,
๐
๐
๐
)
]
(102)
่่ๆ ็ฉทๅฐๅๆข
:
๐ฅ
โถ
๐ฅ
โฒ
=
๐ฅ
+
๐ฟ
๐ฅ
,
๐
โฒ
(
๐ฅ
โฒ
)
=
๐
(
๐ฅ
)
+
๐ฟ
๐
(103)
ๅ ถไธญ
,
ๅฏนๅฝๆฐ
๐
,
ๆ
:
๐ฟ
๐
=
๐
โฒ
(
๐ฅ
โฒ
)
โ
๐
(
๐ฅ
)
=
๐
โฒ
(
๐ฅ
+
๐ฟ
๐ฅ
)
โ
๐
(
๐ฅ
)
=
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
โ
๐
(
๐ฅ
)
+
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
(
๐ฅ
)
+
๐ช
(
๐ฟ
๐ฅ
2
)
(104)
่ฎฐ
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
โ
๐
(
๐ฅ
)
=
๐ฟ
0
๐
,
ไบๆฏ
๐ฟ
ๅฏไปฅๅๆ
:
๐ฟ
=
๐ฟ
0
+
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
(105)
ๆไปฌ็ ็ฉถ็ฌฌไธ้กน
๐ฟ
(
d
4
๐ฅ
)
ๆฏไปไน
:
็ฑไบ
โซ
d
4
๐ฅ
โฒ
=
โซ
d
4
๐ฅ
|
|
|
|
๐
๐ฅ
โฒ
๐
๐
๐ฅ
๐
|
|
|
|
=
โซ
d
4
๐ฅ
|
๐ฟ
๐
๐
+
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
|
(106)
ๆ นๆฎ
det
๐
=
e
tr
ln
๐
โ
1
+
tr
ln
๐
(107)
PROOF :
่ฎฐ
๐ด
=
ln
๐
,
ๅณ
๐
=
e
๐ด
โ
โ
โ
๐
=
0
๐ด
๐
๐
!
,
๐ถ
ไธบ
๐ด
ๅฏน่งๅ็ฉ้ต
:
๐ด
=
๐
โ
1
๐ถ
๐
.
ไบๆฏ
:
det
๐
=
det
โ
โ
๐
=
0
(
๐ด
)
๐
๐
!
=
det
โ
๐
(
๐
โ
1
๐ถ
๐
)
๐
๐
!
=
det
โ
๐
๐
โ
1
๐ถ
๐
๐
๐
=
โ
๐
det
๐
โ
1
det
๐ถ
๐
det
๐
๐
!
=
โ
๐
det
๐ถ
๐
๐
!
(108)
็ฑไบ
๐ถ
๐
ไธบๅฏน่ง้ต
,
ๆ
:
det
๐ถ
๐
=
tr
๐ถ
๐
=
(
tr
๐ถ
)
๐
=
(
tr
๐ด
)
๐
(109)
โน
det
๐
=
โ
๐
(
tr
๐ด
)
๐
๐
!
=
e
tr
๐ด
=
e
tr
ln
๐
โ
1
+
tr
ln
๐
(110)
ไบๆฏ
|
๐ฟ
๐
๐
+
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
|
ๅฏไปฅๅๆ
:
|
๐ฟ
๐
๐
+
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
|
=
1
+
tr
[
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
]
=
1
+
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
(111)
ๅ ๆญค
,
ๆไปฌๅพๅฐ
:
โน
๐ฟ
(
d
4
๐ฅ
)
=
(
๐
๐
๐ฅ
๐
)
d
4
๐ฅ
(112)
ๅจ่ฟ้ๆไปฌ่ๆฅๆ ็ฉทๅฐ
Lorentz
ๅๆข
:
๐ฅ
โฒ
๐
=
ฮ
๐
๐
๐ฅ
๐
=
๐ฅ
๐
+
๐
๐
๐
๐ฅ
๐
(113)
่ฟ้ๆ ็ฉทๅฐ
Lorentz
ๅๆข็ฉ้ต
ฮ
่ขซไธ้ถๅฑๅผ
:
ฮ
๐
๐
=
๐ฟ
๐
๐
+
๐
๐
๐
(114)
่ฟ้
๐ฟ
๐
๐
ไธบๅไฝ็ฉ้ต
,
ๆไปฌๆณ็ฅ้
๐
๐
๐
ๆฏไปไน
.
็ฑไบ
:
ฮ
โ
1
๐
ฮ
=
๐
๐
๐
ฮ
๐
๐ผ
ฮ
๐
๐ฝ
=
๐
๐
๐
(
๐ฟ
๐
๐ผ
+
๐
๐
๐ผ
)
(
๐ฟ
๐
๐ฝ
+
๐
๐
๐ฝ
)
โ
๐
๐ผ
๐ฝ
+
๐
๐ผ
๐ฝ
+
๐
๐ฝ
๐ผ
=
๐
โน
๐
๐
๐
=
โ
๐
๐
๐
(115)
ๆญคๆถ
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
=
๐
๐
๐
๐
๐
๐ฅ
๐
=
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
0
(116)
ไนๅฐฑๆฏ่ฏด
,
ๅฏนไบ
Lorentz
ๅๆข
,
็ฌฌไธ้กนๅฏไปฅๅฟฝ็ฅ
.
ๅๅฐไฝ็จ้ๅๅ
:
๐ฟ
๐
=
โซ
[
(
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
)
โ
+
๐ฟ
โ
]
d
4
๐ฅ
=
0
(117)
ๆไปฌๅฉ็จ
๐ฟ
=
๐ฟ
0
+
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
ๅฑๅผ็ฌฌไบ้กน
:
๐ฟ
โ
=
๐ฟ
0
โ
+
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
โ
(118)
ๅ ถไธญ
๐ฟ
0
โ
=
๐
โ
๐
๐
๐ฟ
0
๐
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
0
๐
๐
๐
=
๐
โ
๐
๐
๐ฟ
0
๐
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐
๐
๐ฟ
0
๐
=
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
๐
โ
๐
๐
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
0
๐ฟ
0
๐
+
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
0
๐
)
)
)
)
)
=
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
0
๐
)
)
)
)
)
(119)
็ฌฌไธไธช็ญๅท็จๅฐไบๅ้จ็งฏๅ
.
ไปฃๅ
:
๐ฟ
๐
=
โซ
d
4
๐ฅ
[
[
[
[
[
[
(
๐
๐
๐ฟ
๐ฅ
๐
)
โ
+
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
๐
๐
(
๐ฟ
๐ฅ
๐
โ
)
+
๐
๐
(
(
(
(
(
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
0
๐
)
)
)
)
)
]
]
]
]
]
]
=
โซ
d
4
๐ฅ
๐
๐
[
[
[
[
๐ฟ
๐ฅ
๐
โ
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
0
๐
]
]
]
]
=
0
(120)
ๆไปฌๅฎไน
Noether
ๆต
:
๐
๐
=
๐ฟ
๐ฅ
๐
โ
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
0
๐
(121)
ๅ็ฑไบ
๐ฟ
0
๐
=
๐ฟ
๐
โ
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
ๅ ๆญค
:
๐ฟ
๐
=
โซ
d
4
๐ฅ
๐
๐
[
[
[
[
๐ฟ
๐ฅ
๐
โ
โ
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
]
]
]
]
=
โซ
d
4
๐ฅ
๐
๐
[
[
[
[
(
(
(
(
(
โ
๐ฟ
๐
๐
โ
๐
๐
๐
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
๐ฟ
๐ฅ
๐
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
]
]
]
]
=
0
(122)
ๅพๅฐ
:
๐
๐
[
[
[
[
(
(
(
(
(
โ
๐ฟ
๐
๐
โ
๐
๐
๐
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
๐ฟ
๐ฅ
๐
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
]
]
]
]
=
0
(123)
ๅฏไปฅ่ฎฐ
๐
๐
=
(
(
(
(
(
โ
๐ฟ
๐
๐
โ
๐
๐
๐
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
)
๐ฟ
๐ฅ
๐
+
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐ฟ
๐
,
๐
๐
๐
๐
=
0
(124)
ๆๆถๆไปฌไนไผ่ฎฐ
๐
๐
=
๐ฟ
๐ฅ
๐
.
ๅฎไน
Noether
่ท
:
0
=
โซ
d
4
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
=
โซ
๐
2
๐
1
d
๐ก
โซ
d
3
๐ฅ
(
๐
0
๐
0
+
๐
ยท
โ
๐
)
=
โซ
๐
2
๐
1
d
๐ก
(
๐
๐
๐ก
โซ
d
3
๐ฅ
๐
0
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
)
+
โซ
d
๐ก
โซ
๐
โ
๐
ยท
d
โ
๐
(125)
่ฟ้ๅฏน็ฉบ้ด็งฏๅๅบ็จไบ
Stokes
ๅฎ็
.
ๆไปฌ่ฎฐ
๐
(
๐ก
)
=
โซ
d
3
๐ฅ
๐
0
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
)
(126)
ๆ
:
โซ
๐
2
๐
1
d
๐ก
d
d
๐ก
๐
+
โซ
d
๐ก
โซ
๐
โ
๐
ยท
d
โ
๐
=
0
(127)
ๅฏนไบๅฐ้ญๆฒ้ข็ฌฌไบ้กนไธบ
0
,
ๆ ๆ
:
d
๐
d
๐ก
=
0
(128)
ๅณ
Noether
่ทๆฏๅฎๆ่ท
,
ไธไพ่ตๆถ้ด
.
่่ๆถ็ฉบๅนณ็งปๅๆข
:
๐ฅ
๐
โถ
๐ฅ
โฒ
๐
=
๐ฅ
๐
+
๐
๐
,
(129)
ๅจๅๆขไธ
๐ฟ
๐
=
0
,
ๅ ๆญค
:
๐ฟ
0
๐
=
๐ฟ
๐
โ
๐ฟ
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
=
โ
๐
๐
๐
๐
๐
(130)
ๆไปฌไนๅฏไปฅ่ฟๆ ท็่งฃ
:
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
=
๐
(
๐ฅ
โ
๐
)
โน
๐ฟ
0
๐
=
๐
โฒ
(
๐ฅ
)
โ
๐
(
๐ฅ
)
=
โ
๐
๐
๐
๐
๐
(131)
ๅฐ
๐ฟ
0
๐
ไปฃๅ ฅ
๐
๐
ๅพๅฐ
:
๐
๐
=
(
(
(
(
(
โ
๐ฟ
๐
๐
โ
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐
๐
๐
)
)
)
)
)
๐
๐
(132)
่ฟ้ๆไปฌ็็ฅ
๐
๐
,
ๅนถ็จๅบฆ่ง
๐
ๅฐๆๆ
๐
ๅไธๅป
,
ๅพๅฐ
:
๐
๐
๐
=
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐
๐
๐
โ
โ
๐
๐
๐
,
๐
๐
๐
๐
๐
=
0
(133)
ๆไปฌ็งฐ
๐
๐
๐
ไธบ
่ฝ้ๅจ้ๅผ ้
.
ไธบไบ็ ็ฉถ
๐
๐
๐
็็ฉ็ๆไน
,
ๆไปฌ่ๅฏๅฎๅฏนๅบ็
Noether
่ท
:
๐
๐
=
โซ
d
3
๐ฅ
๐
0
๐
(134)
ๅ ถไธญ
๐
=
0
ๆถ
:
๐
0
=
โซ
d
3
๐ฅ
๐
0
0
=
โซ
d
3
๐ฅ
(
(
(
(
๐
โ
๐
ฬ
๐
ฬ
๐
โ
โ
)
)
)
)
=
โซ
d
3
๐ฅ
(
๐
ฬ
๐
โ
โ
)
=
โซ
d
3
๐ฅ
โ
(135)
๐
0
0
ๅณไธบ
่ฝ้ๅฏๅบฆ
.
๐
=
๐
=
1
,
2
,
3
ๆถ
:
๐
๐
=
โซ
d
3
๐ฅ
๐
0
๐
=
โซ
d
3
๐ฅ
๐
๐
๐
๐
(136)
๐
0
๐
ไธบ
ๅจ้ๅฏๅบฆ
(
ไธๆฏๅ ฑ่ฝญๅจ้
!).
EXAMPLE
1
โ
=
1
2
(
๐
๐
๐
)
2
, shift symmetry:
๐
โถ
๐
โฒ
=
๐
+
๐
,
๐ฟ
๐
=
๐
โฒ
โ
๐
=
๐
.
Noether
ๆต
:
๐
๐
=
๐
โ
๐
(
๐
๐
๐
)
๐
=
๐
๐
๐
,
๐
๐
๐
๐
=
โก
๐
=
0
(137)
EXAMPLE
2
โ
CKG
=
|
๐
๐
๐
|
2
โ
๐
2
|
๐
|
2
,
๐
(
1
)
symmetry:
๐
(
1
)
:
{
{
{
{
{
๐
โถ
๐
โฒ
=
e
i
๐ผ
๐
๐
โ
โถ
๐
โ
โฒ
=
e
โ
i
๐ผ
๐
โ
โน
{
{
{
{
{
๐ฟ
๐
=
i
๐ผ
๐
๐ฟ
๐
โ
=
โ
i
๐ผ
๐
โ
(138)
Noether
ๆต
:
๐
๐
=
i
[
(
๐
๐
๐
โ
)
๐
โ
๐
โ
๐
๐
๐
]
(139)
Noether
่ท
:
๐
=
โซ
d
3
๐ฅ
๐
0
=
i
โซ
d
3
๐ฅ
[
ฬ
๐
โ
๐
โ
๐
โ
ฬ
๐
]
(140)
่ฟ้็
๐
ๅฐฑๆฏ็ต่ท
.
E.
้ๅญๅ
K-G
ๅบ่ฎบ
E.1.
ๆญฃๅ้ๅญๅ
ๅ้กพ
K-G
ๅบ็
Lagrangian density:
โ
=
1
2
(
๐
๐
๐
)
2
โ
1
2
๐
2
๐
2
(141)
ๅ ฑ่ฝญๅจ้ๅฏๅบฆ
๐
=
ฬ
๐
. Hamiltonian density:
โ
(
๐
,
๐
)
=
๐
ฬ
๐
โ
โ
=
๐
0
0
=
1
2
๐
2
+
1
2
(
๐
๐
)
2
+
1
2
๐
2
๐
2
(142)
ๅๅฟ
NRQM
ไธญ็้ๅญๅ่ฟ็จ
:
ฬ
๐ป
(
ฬ
๐
,
ฬ
๐
)
=
ฬ
๐
2
2
๐
+
๐
(
ฬ
๐
)
[
ฬ
๐
๐
,
ฬ
๐
๐
]
=
i
๐ฟ
๐
๐
,
[
ฬ
๐
๐
,
ฬ
๐
๐
]
=
[
ฬ
๐
๐
,
ฬ
๐
๐
]
=
0
(143)
ๆไปฌๅฐ่ฟไธช่ฟ็จๆจๅนฟๅฐๅบ่ฎบไธญ
,
ๅบ่ฏฅๆ
:
[
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
,
ฬ
๐
(
โ
๐ฆ
,
๐ก
)
]
=
i
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐ฅ
โ
โ
๐ฆ
)
(144)
ๆไปฌ็ฎๅๆพไธๅฐๆพ็ถ็ๆนๆณๆฅๅฎ็ฐ
,
ๅฐ่ฏๅฏน
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
ไฝ
Fourier
ๅฑๅผ
:
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
ฬ
๐
(
โ
๐
,
๐ก
)
(145)
ไปฃๅ ฅ
K-G
ๆน็จๅพๅฐ
:
(
โก
+
๐
2
)
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
0
โน
(
(
(
(
(
(
(
(
๐
2
๐
๐ก
2
+
โ
๐
2
+
๐
2
โ
โ
โ
โ
โ
๐
2
โ
๐
)
)
)
)
)
)
)
)
ฬ
๐
(
โ
๐
,
๐ก
)
=
0
(146)
ๆณจๆๅฐ
๐
โ
๐
=
โ
โ
๐
2
+
๐
2
.
ๆณจๆๅฐไธ็ปด็ฎๅ่ฐๆฏๅญ
Hamiltonian:
๐ป
SHO
=
๐
2
2
+
1
2
๐
2
๐ฅ
2
(
๐
=
1
)
ฬ
๐ฅ
=
1
โ
2
๐
(
๐
+
๐
โ
)
,
ฬ
๐
=
โ
i
โ
๐
2
(
๐
โ
๐
โ
)
[
๐
,
๐
โ
]
=
1
(147)
Hamiltonian
ๅๆ
:
ฬ
๐ป
SHO
=
๐
(
๐
โ
๐
+
1
2
)
(148)
ๅนถไธๆๅฏนๆๅ ณ็ณป
:
[
๐ป
SHO
,
๐
โ
]
=
๐
๐
โ
,
[
๐ป
SHO
,
๐
]
=
โ
๐
๐
(149)
ๆนฎ็ญ็ฎ็ฌฆ
๐
ๅฏไปฅๆนฎ็ญ็็ฉบ
:
๐
|
0
โฉ
=
0
(150)
๐
ๆๅฏไปฅๅๆ
:
|
๐
โฉ
=
(
๐
โ
)
๐
|
0
โฉ
(151)
ๅๅฐ
K-G
ๅบ
,
Hamiltonian density :
โ
(
๐
,
๐
)
=
1
2
๐
2
+
1
2
(
๐
๐
)
2
+
1
2
๐
2
๐
2
(152)
่ฆๅพๅฐ็้ๅญๅ
:
[
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
,
ฬ
๐
(
โ
๐ฆ
)
]
=
i
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐ฅ
โ
โ
๐ฆ
)
[
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
,
ฬ
๐
(
โ
๐ฆ
)
]
=
[
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
,
ฬ
๐
(
โ
๐ฆ
)
]
=
0
(153)
่ฟ้ๆไปฌไฝฟ็จไบ่ๅฎ่ฐ็ปๆฏ
(
Schrรถdinger picture),
ๅ ๆญค
๐
ๅ
๐
ไธ้่ฆไพ่ตไบๆถ้ด
.
ๅจๆตทๆฃฎๅ ก็ปๆฏ
(
Heisenberg
pictuer)
ไธ้่ฆ
ฬ
๐
ๅ
ฬ
๐
ๆฏๅๆถ็
,
ๆญคๆถ็งฐไธบ
็ญๆถ้ๅญๅ
.
ไธบไบๅพๅฐ้ๅญๅ
,
ๅฐ
ฬ
๐
ๅ
ฬ
๐
ๅๆ
:
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐
โ
๐
(
๐
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
+
๐
โ
โ
๐
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
(
โ
i
)
โ
๐
โ
๐
2
(
๐
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
โ
๐
โ
โ
๐
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
(154)
โน
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐
โ
๐
(
๐
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
+
๐
โ
โ
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐
โ
๐
(
๐
โ
๐
+
๐
โ
โ
โ
๐
)
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
(
โ
i
)
โ
๐
โ
๐
2
(
๐
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
โ
๐
โ
โ
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
(
โ
i
)
โ
๐
โ
๐
2
(
๐
โ
๐
โ
๐
โ
โ
โ
๐
)
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
(155)
ๅฏนๆๅ ณ็ณป
:
[
๐
โ
๐
,
๐
โ
โ
๐
โฒ
]
=
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
โฒ
)
[
๐
โ
๐
,
๐
โ
๐
โฒ
]
=
[
๐
โ
โ
๐
,
๐
โ
โ
๐
โฒ
]
=
0
(156)
ๆไปฌๅฏไปฅ้ช่ฏ
:
[
๐
(
โ
๐ฅ
)
,
๐
(
โ
๐ฅ
โฒ
)
]
=
โฌ
d
3
๐
d
3
๐
โฒ
(
2
๐
)
6
(
โ
i
2
)
โ
๐
โ
๐
โฒ
๐
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
e
i
โ
๐
โฒ
ยท
โ
๐ฅ
โฒ
[
๐
โ
๐
+
๐
โ
โ
โ
๐
,
๐
โ
๐
โฒ
โ
๐
โ
โ
โ
๐
โฒ
]
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
=
[
๐
โ
โ
โ
๐
,
๐
โ
๐
โฒ
]
โ
[
๐
โ
๐
,
๐
โ
โ
โ
๐
]
=
โ
2
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
+
โ
๐
โฒ
)
=
i
โฌ
d
3
๐
d
3
๐
โฒ
(
2
๐
)
3
โ
๐
โ
๐
โฒ
๐
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
e
i
โ
๐
โฒ
ยท
โ
๐ฅ
โฒ
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
+
โ
๐
โฒ
)
=
i
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
e
i
โ
๐
ยท
(
โ
๐ฅ
โ
โ
๐ฅ
โฒ
)
=
i
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐ฅ
โ
โ
๐ฅ
โฒ
)
(157)
ๅๆ ท็
,
ๅฏไปฅ้ช่ฏ
[
๐
(
โ
๐ฅ
)
,
๐
(
โ
๐ฅ
โฒ
)
]
=
[
๐
(
โ
๐ฅ
)
,
๐
(
โ
๐ฅ
โฒ
)
]
=
0
(158)
่ฟๆ ท็้ๅญๅ็งฐไธบ
ๆญฃๅ้ๅญๅ
.
ไบๆฏๆไปฌๅฏไปฅ็ปๅบ
Hamiltonian:
ฬ
๐ป
=
โซ
d
3
๐ฅ
[
1
2
ฬ
๐
2
+
1
2
(
โ
ฬ
๐
)
2
+
1
2
๐
2
ฬ
๐
2
]
=
โซ
d
3
๐ฅ
โฌ
d
3
๐
d
3
๐
โฒ
(
2
๐
)
6
e
i
(
โ
๐
+
โ
๐
โฒ
)
ยท
โ
๐ฅ
{
{
{
{
{
โ
โ
๐
โ
๐
๐
โ
๐
โฒ
4
(
๐
โ
๐
โ
๐
โ
โ
โ
๐
)
(
๐
โ
๐
โฒ
โ
๐
โ
โ
โ
๐
โฒ
)
+
โ
โ
๐
ยท
โ
๐
โฒ
+
๐
2
4
โ
๐
โ
๐
๐
โ
๐
โฒ
(
๐
โ
๐
+
๐
โ
โ
โ
๐
)
(
๐
โ
๐
โฒ
+
๐
โ
โ
โ
๐
โฒ
)
}
}
}
}
}
=
โฌ
d
3
๐
d
3
๐
โฒ
(
2
๐
)
6
โซ
d
3
๐ฅ
e
i
(
โ
๐
+
โ
๐
โฒ
)
ยท
โ
๐ฅ
{
{
{
{
{
โ
โ
๐
โ
๐
๐
โ
๐
โฒ
4
(
๐
โ
๐
โ
๐
โ
โ
โ
๐
)
(
๐
โ
๐
โฒ
โ
๐
โ
โ
โ
๐
โฒ
)
+
โ
โ
๐
ยท
โ
๐
โฒ
+
๐
2
4
โ
๐
โ
๐
๐
โ
๐
โฒ
(
๐
โ
๐
+
๐
โ
โ
โ
๐
)
(
๐
โ
๐
โฒ
+
๐
โ
โ
โ
๐
โฒ
)
}
}
}
}
}
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
{
โ
๐
โ
๐
4
(
๐
โ
๐
โ
๐
โ
โ
โ
๐
)
(
๐
โ
โ
๐
โ
๐
โ
โ
๐
)
+
๐
โ
๐
4
(
๐
โ
๐
+
๐
โ
โ
โ
๐
)
(
๐
โ
โ
๐
+
๐
โ
โ
๐
)
}
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
๐
โ
๐
(
๐
โ
โ
๐
๐
โ
๐
+
1
2
[
๐
โ
๐
,
๐
โ
โ
๐
]
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
๐
โ
๐
(
๐
โ
โ
๐
๐
โ
๐
+
1
2
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
0
)
)
(159)
ไป่ฟไธชๅผๅญๅฏไปฅ็่งฃ
,
QFT
ๅฎ้ ไธๆฏๆ ็ฉทๅคไธช็ฌ็ซ็่ฐๆฏๅญ็่ฆๅ
.
ๅฏไปฅ่ฎก็ฎ
ฬ
๐ป
ไธไบง็ๆนฎ็ญ็ฎ็ฌฆ็ๅฏนๆๅ ณ็ณป
:
[
ฬ
๐ป
,
๐
โ
โ
๐
]
=
๐
โ
๐
๐
โ
โ
๐
,
[
ฬ
๐ป
,
๐
โ
๐
]
=
โ
๐
โ
๐
๐
โ
๐
(160)
็ฑปๆฏ่ฐๆฏๅญ็็ฑปไผผๅ ณ็ณป
:
ๅ ฌๅผ
ย 149
.
็็ฉบ่ฝ
:
ฬ
๐ป
|
0
โฉ
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
๐
โ
๐
1
2
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
0
)
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
็็ฉบ่ฝ
|
0
โฉ
=
๐ธ
val
|
0
โฉ
โน
ฬ
๐ป
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
=
[
ฬ
๐ป
,
๐
โ
โ
๐
]
โ
โ
โ
โ
โ
๐
โ
๐
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
+
๐ธ
val
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
=
(
๐ธ
val
+
๐
โ
๐
)
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
โน
ฬ
๐ป
๐
โ
โ
๐
1
๐
โ
โ
๐
2
โฏ
๐
โ
โ
๐
๐
|
0
โฉ
=
(
๐ธ
val
+
๐
โ
๐
1
+
๐
โ
๐
2
+
โฏ
+
๐
โ
๐
๐
)
๐
โ
โ
๐
1
๐
โ
โ
๐
2
โฏ
๐
โ
โ
๐
๐
|
0
โฉ
(161)
ๆณจๆๅฐ
้ถ็น่ฝๆฏๅๆฃ็
๐
-number.
ไฝๆฏๆไปฌๅชๅ ณๅฟๅไธชๆไน้ด็่ฝ้ๅทฎ
,
ๅ ๆญคๅฏไปฅๅฟฝ็ฅๆๆ ็ฉทๅคง็ๅธธๆฐ้กน
.
ๆไปฌไนๅฏไปฅๅพๅฐๆปๅจ้
:
ฬ
๐
=
โ
โซ
d
3
๐ฅ
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
๐
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
โ
๐
๐
โ
โ
๐
๐
โ
๐
(162)
ๆปๅจ้ๆปก่ถณๅฏนๆๅ ณ็ณป
:
[
ฬ
๐
,
๐
โ
โ
๐
]
=
โ
๐
๐
โ
โ
๐
,
[
ฬ
๐
,
๐
โ
๐
]
=
โ
โ
๐
๐
โ
๐
(163)
ๆญฃๅๆๅบ
ๆฏไธขๅป็็ฉบ่ฝ้กนไฝฟๅพ็็ฉบๆ
|
0
โฉ
ๆนฎ็ญ็ๆไฝ
,
ๅฆ
:
ฬ
๐ป
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
๐
โ
๐
๐
โ
โ
๐
๐
โ
๐
,
ฬ
๐ป
|
0
โฉ
=
0
(164)
ไบๆฏๆ
{
{
{
{
{
{
{
โ
๐
๐
โ
โ
๐
๐
โ
โ
๐
โฏ
|
0
โฉ
=
(
โ
๐
+
โ
๐
+
โฏ
)
๐
โ
โ
๐
๐
โ
โ
๐
โฏ
|
0
โฉ
๐ป
๐
โ
โ
๐
๐
โ
โ
๐
โฏ
|
0
โฉ
=
(
๐
โ
๐
+
๐
โ
๐
+
โฏ
)
๐
โ
โ
๐
๐
โ
โ
๐
โฏ
|
0
โฉ
(165)
่ฟ้
๐
๐
=
โ
๐
2
+
๐
2
ๅฐฑๆฏ็ณป็ป็่ฝ้
,
ๆไปฌๅฐๅ ถ็ดๆฅ่ฎฐๆ
๐ธ
๐
,
ๅฎๆปๆฏๆญฃ็
.
ๅๅฟ
QM:
ๅ จๅ็ฒๅญๅฏไปฅๅไธบ่ดน็ฑณๅญ
(
Fermions)
ๅ็ป่ฒๅญ
(
Bosons).
่ดน็ฑณๅญ้ตๅพช
F-D
็ป่ฎก
,
็ป่ฒๅญ้ตๅพช
B-E
็ป่ฎก
.
ๅ ถไธญ
,
ๅฏนไบ็ป่ฒๅญๆ
:
๐
(
๐ฅ
1
,
โฆ
,
๐ฅ
๐
,
๐ฅ
๐
,
โฆ
,
๐ฅ
๐
)
=
๐
(
๐ฅ
1
,
โฆ
,
๐ฅ
๐
,
๐ฅ
๐
,
โฆ
,
๐ฅ
๐
)
(166)
ๅฏนไบ
KG
ๅบ่ฎบ
,
็ฑไบ
|
โ
๐
โฉ
โผ
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
โน
{
{
{
{
{
{
{
|
โ
๐
,
โ
๐
โฉ
โผ
๐
โ
โ
๐
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
|
โ
๐
,
โ
๐
โฉ
โผ
๐
โ
โ
๐
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
(167)
็ฑไบ
[
๐
โ
๐
,
๐
โ
๐
]
=
[
๐
โ
โ
๐
,
๐
โ
โ
๐
]
=
0
ๅพๅฐ
:
|
โ
๐
,
โ
๐
โฉ
=
|
โ
๐
,
โ
๐
โฉ
(168)
ๆพ็ถ
,
K-G
ๅบๆฟๅ็็ฒๅญๆฏ็ป่ฒๅญ
.
E.2.
ๅ็ฒๅญๆๅฝไธๅ
็ฑๅๆๆไปฌ็ฅ้
:
|
โ
๐
โฉ
โ
๐
โ
โ
๐
|
0
โฉ
(169)
้ๅๅฝไธๅ็็็ฉบๆ
:
โจ
0
|
0
โฉ
=
1
(170)
ๅจ้็ธๅฏน่ฎบๆง้ๅญๅๅญฆไธญ
:
โจ
โ
๐
|
โ
๐
โฉ
=
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
(171)
ๆไปฌๅ็ฐ่ฟไธชๅฝไธๅไธๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
.
่ๅฏ
๐
ๅฐ
๐
โฒ
ๅ
๐ธ
ๅฐ
๐ธ
โฒ
ๆฒฟ
3
ๆนๅ็
Lorentz boost
ๅๆข
:
๐
3
โถ
๐
โฒ
3
=
๐พ
(
๐
3
+
๐ฝ
๐ธ
)
๐ธ
โถ
๐ธ
โฒ
=
๐พ
(
๐ธ
+
๐ฝ
๐
3
)
(172)
่ๅฏ
๐ฟ
ๅฝๆฐ
:
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
โถ
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
(173)
็ฑไบ
๐ฟ
ๅฝๆฐๆ่ฟๆ ท็ๆง่ดจ
:
๐ฟ
(
๐
(
๐ฅ
)
โ
๐
(
๐ฅ
0
)
)
=
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฅ
0
)
|
๐ฅ
0
|
(174)
ๅบ็จๅฐ
๐ฟ
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
ไธ
,
ๅพๅฐ
:
๐ฟ
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
=
๐ฟ
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
d
๐
โฒ
3
/
d
๐
3
โน
๐ฟ
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
=
๐ฟ
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
d
๐
โฒ
3
d
๐
3
=
๐ฟ
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
๐พ
(
1
+
๐ฝ
d
๐ธ
d
๐
3
)
(175)
็ฑไบ
๐ธ
=
โ
๐
2
+
๐
2
1
+
๐
2
2
+
๐
2
3
โน
d
๐ธ
d
๐
3
=
๐
3
๐ธ
(176)
ๅ ๆญค
:
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
=
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
๐พ
(
1
+
๐ฝ
๐
3
๐ธ
)
=
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
๐พ
(
๐ธ
+
๐ฝ
๐
3
)
๐ธ
=
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
๐ธ
โฒ
๐ธ
(177)
ๅณ
:
โน
๐ธ
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
=
๐ธ
โฒ
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โฒ
โ
โ
๐
โฒ
)
(178)
ๆไปฌๅ็ฐ
๐ธ
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
(179)
ๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
.
ไธบไบไธ
ๅ ฌๅผ
ย 154
ไฟๆไธ่ด
,
ๆไปฌไธ่ฌไผไนไธ็ณปๆฐ
2
,
่งๅฎๅ็ฒๅญๅฝไธๅๆกไปถ
:
โจ
โ
๐
|
โ
๐
โฉ
=
2
๐ธ
๐
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
(180)
่ฎพๅ็ฒๅญๆ
:
|
โ
๐
โฉ
=
๐
๐
๐
โ
๐
|
0
โฉ
,
|
โ
๐
โฉ
=
๐
๐
๐
โ
๐
|
0
โฉ
(181)
ๅ
:
โจ
๐
|
๐
โฉ
=
๐
โ
๐
๐
๐
โจ
0
|
๐
๐
๐
โ
๐
|
0
โฉ
=
๐
โ
๐
๐
๐
โจ
0
|
[
๐
๐
,
๐
โ
๐
]
+
๐
โ
๐
๐
๐
|
0
โฉ
=
๐
โ
๐
๐
๐
โจ
0
|
0
โฉ
[
๐
๐
,
๐
โ
๐
]
=
๐
โ
๐
๐
๐
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
=
|
๐
๐
|
2
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
=
2
๐ธ
๐
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
(182)
ๅพๅฐๅ็ฒๅญๆ
:
โน
๐
๐
=
โ
2
๐ธ
๐
,
|
โ
๐
โฉ
=
โ
2
๐ธ
๐
๐
โ
๐
|
0
โฉ
(183)
ไธ้ข่ฏๆ็งฏๅๅ
โซ
d
3
๐
2
๐ธ
๐
ๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
:
่่็งฏๅ
โซ
d
4
๐
๐ฟ
(
๐
2
โ
๐
2
)
๐
(
๐
0
)
(184)
่ฟไธช็งฏๅๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
:
ๆพ็ถ
d
4
๐
ๅ
๐ฟ
(
๐
2
โ
๐
2
)
ๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
,
่่ฝ้
๐ธ
๐
=
๐
0
ๅจ
Lorentz
ๅๆข
ไธไนไธไผๆนๅ็ฌฆๅท
,
ๅณ
๐
(
๐
0
)
ไนๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
.
ๅ ๆญค
:
โซ
d
4
๐
๐ฟ
(
๐
2
โ
๐
2
)
๐
(
๐
0
)
=
โซ
d
3
๐
โซ
d
๐ธ
๐ฟ
(
๐ธ
2
โ
๐ธ
2
๐
)
๐
(
๐ธ
)
=
โซ
d
3
๐
โซ
d
๐ธ
๐ฟ
(
๐ธ
โ
๐ธ
๐
)
+
๐ฟ
(
๐ธ
+
๐ธ
๐
)
2
๐ธ
๐
๐
(
๐ธ
)
=
โซ
d
3
๐
2
๐ธ
(185)
ๅ ๆญค
โซ
d
3
๐
2
๐ธ
(186)
ๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
.
ๆๅๆไปฌๆฅ็ ็ฉถๅบ็ฎ็ฌฆ
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
็็ฉ็ๆไน
.
่่ๅฐ
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
ไฝ็จๅจ็็ฉบไธ
:
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
|
0
โฉ
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
๐
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
+
๐
โ
๐
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
|
0
โฉ
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
|
โ
๐
โฉ
(187)
ๆไปฌๆณจๆๅฐ่ฟไธช่กจ่พพๅผไธ้็ธๅฏน่ฎบ้ๅญๅๅญฆ้็ไฝ็ฝฎ็ฎ็ฌฆ
|
โ
๐ฅ
โฉ
่กจ่พพๅผ
:
|
โ
๐ฅ
โฉ
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
|
โ
๐
โฉ
(188)
็ฑปไผผ
.
ไบๅฎไธ
,
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
ไฝ็จๅจ็็ฉบไธ
,
ๅฏไปฅ่ฎคไธบๅจ
โ
๐ฅ
ๅคไบง็ไธไธช็ฒๅญ
.
้่ฆๆณจๆ็ๆฏ
,
ๅจ
QFT
ไธญ
,
โ
๐ฅ
ๆฐธ่ฟไธๅฏไปฅๆฏ
็ฎ็ฌฆ
,
ไนๆฒกๆ
|
โ
๐ฅ
โฉ
่ฟๆ ท็ๆฆๅฟต
!
ๆไปฌๅๆฅ่ๅฏ็ฉ้ตๅ
โจ
0
|
๐
(
โ
๐ฅ
)
|
โ
๐
โฉ
:
โจ
0
|
๐
(
โ
๐ฅ
)
|
โ
๐
โฉ
=
โจ
0
|
|
|
|
|
โซ
d
3
๐
โฒ
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
โฒ
(
๐
๐
โฒ
e
i
โ
๐
โฒ
ยท
โ
๐ฅ
+
๐
โ
๐
โฒ
e
โ
i
โ
๐
โฒ
ยท
โ
๐ฅ
)
โ
2
๐ธ
๐
๐
โ
๐
|
|
|
|
|
0
โฉ
=
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
(189)
ๅๅฟ้็ธๅฏน่ฎบ้ๅญๅๅญฆ้็ไฝ็ฝฎๅๅจ้ไน็งฏ
:
โจ
โ
๐ฅ
|
โ
๐
โฉ
=
e
i
โ
๐ฅ
ยท
โ
๐
(190)
ๆ็งๆไนไธๆไปฌๅฏไปฅๆไธค่ ็ธ็ฑปๆฏ
(
ไธๆฏ็ญไปท
!):
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
ไฝ็จๅจ็็ฉบไธ
,
ๅฏไปฅ่ฎคไธบๅจ
โ
๐ฅ
ๅคไบง็ไธไธช็ฒๅญ
.
E.3.
Heisenberg
็ปๆฏไธ็
K-G
ๅบ่ฎบ
ๅจ
Heisenberg picture
ไธ
,
ๆไปฌ็บฆๅฎ็ฎ็ฌฆๆฏ้ๆถ้ดๆผๅ็
,
่ๆไธ้ๆถ้ดๆผๅ
.
ๆไปฌ้่ฆ่่ไปปๆๆถๅป็้ๅญๅบ
,
ๅ ๆญคๆไปฌ่ฝฌๅฐ
Heisenberg
็ปๆฏ
.
Heisenberg
็ปๆฏไธญ็ฎ็ฌฆ็ๆผๅ
:
๐
๐ป
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
e
i
๐ป
๐ก
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
=
0
)
e
โ
i
๐ป
๐ก
(191)
ๅฏนไบๅบ็ฎ็ฌฆ
:
ฬ
๐
(
๐ฅ
)
=
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
e
i
๐ป
๐ก
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
e
โ
i
๐ป
๐ก
(192)
Heisenberg
่ฟๅจๆน็จ
:
i
๐
๐
๐ก
๐ด
=
[
๐ด
,
๐ป
]
(193)
ไปฃๅ ฅ
ฬ
๐
(
๐ฅ
)
:
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
i
๐
๐
๐ก
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
[
ฬ
๐
,
๐ป
]
=
[
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
,
โซ
d
3
๐ฅ
โฒ
{
1
2
๐
2
(
โ
๐ฅ
โฒ
,
๐ก
)
+
1
2
(
๐
๐
(
โ
๐ฅ
โฒ
,
๐ก
)
)
2
+
1
2
๐
2
๐
2
(
โ
๐ฅ
โฒ
,
๐ก
)
}
]
=
i
โซ
d
3
๐ฅ
โฒ
๐ฟ
3
(
โ
๐ฅ
โ
โ
๐ฅ
โฒ
)
๐
(
โ
๐ฅ
โฒ
,
๐ก
)
=
i
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
i
๐
๐
๐ก
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
[
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
,
โซ
d
3
๐ฅ
โฒ
{
1
2
๐
2
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
+
1
2
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
(
โ
๐
2
+
๐
2
)
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
}
]
(194)
ๆพ็ถ็ฌฌไธไธชๅผๅญๅๅฐไบๅบ่ฎบ็ๅ ฑ่ฝญๅจ้็่กจ่พพๅผ
๐
=
ฬ
๐
.
็ปง็ปญๆจๅฏผ็ฌฌไบไธช่กจ่พพๅผ
:
i
๐
๐
๐ก
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
i
(
๐
2
โ
๐
2
)
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
โน
๐
๐
๐ก
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
(
๐
2
โ
๐
2
)
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
(195)
ไปฃๅ ฅไธไธๅผ
,
ๆดๅๅพๅฐ
:
๐
2
๐
๐ก
2
ฬ
๐
=
(
๐
2
โ
๐
2
)
ฬ
๐
โบ
(
โก
+
๐
2
)
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
0
(196)
ๆไปฌๅ็ฐ
ฬ
๐
ไพ็ถๆปก่ถณ
K-G
ๆน็จ
.
ๅๆ ท็
,
ๆไปฌๅฎไนๆถ้ดไพ่ต็ไบง็ๆนฎ็ญ็ฎ็ฌฆ
:
๐
๐
(
๐ก
)
=
e
i
๐ป
๐ก
๐
๐
e
โ
i
๐ป
๐ก
๐
โ
๐
(
๐ก
)
=
e
i
๐ป
๐ก
๐
โ
๐
e
โ
i
๐ป
๐ก
(197)
ๅๆ
:
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
e
i
๐ป
๐ก
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
)
e
โ
i
๐ป
๐ก
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
e
i
๐ป
๐ก
๐
๐
e
โ
i
๐ป
๐ก
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
+
e
i
๐ป
๐ก
๐
โ
๐
e
โ
i
๐ป
๐ก
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
๐
๐
(
๐ก
)
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
+
๐
โ
๐
(
๐ก
)
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
(198)
ๆไปฌ่ฏๅพ็ฅ้ไบง็ๆนฎ็ญ็ฎ็ฌฆๅจ
๐ก
ๆถๅปไธ
0
ๆถๅปๆไปไนๅ ณ็ณป
,
ๆไปฌๅฐ
๐
๐
(
๐ก
)
ๅฏนๆถ้ดๆฑๅฏผๆฐ
:
d
d
๐ก
๐
๐
(
๐ก
)
=
e
i
๐ป
๐ก
i
๐ป
๐
๐
e
โ
i
๐ป
๐ก
+
e
i
๐ป
๐ก
๐
๐
(
โ
i
๐ป
)
e
โ
i
๐ป
๐ก
=
i
e
i
๐ป
๐ก
[
๐ป
,
๐
๐
]
e
โ
i
๐ป
๐ก
=
โ
i
๐ธ
๐
๐
๐
(
๐ก
)
โน
๐
๐
(
๐ก
)
=
๐
๐
e
โ
i
๐ธ
๐
๐ก
(199)
็ฑปไผผ็
,
ๆ
:
๐
โ
๐
(
๐ก
)
=
๐
โ
๐
e
i
๐ธ
๐
๐ก
(200)
ไบๆฏ็ปง็ปญๅฐ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
ๅๆ
:
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
๐
๐
e
โ
i
๐ธ
๐
๐ก
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
+
๐
โ
๐
e
i
๐ธ
๐
๐ก
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
๐
๐
e
โ
i
๐ธ
๐
๐ก
+
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
+
๐
โ
๐
e
i
๐ธ
๐
๐ก
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
(201)
ๅผๅ ฅ
4-
ๅจ้
๐
๐
=
(
๐
0
,
โ
๐
)
=
(
๐ธ
๐
,
โ
๐
)
,
ๆ
:
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
(
(
(
(
(
(
(
๐
๐
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
โ
โ
โ
โ
โ
ๆญฃ้ข้จๅ
+
๐
โ
๐
e
i
๐
ยท
๐ฅ
โ
่ด้ข้จๅ
)
)
)
)
)
)
)
)
|
|
|
|
|
|
๐
0
=
๐ธ
๐
=
โ
๐
2
+
๐
2
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
ฬ
ฬ
๐
=
๐
๐
๐ก
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
(202)
ไนๆไปฅๅ้กนๆฏๆญฃ้ข้จๅ
,
ๅ้กนๆฏ่ด้ข้จๅ
,
ๆไปฌ่็ณป
Schrรถdinger
ๆน็จ
i
ฬ
๐
=
๐ป
๐
=
๐ธ
๐
ๅ ถไธญ
๐
ๅป็ปไบไธ
ไธช่ฝ้ๆฌๅพๆ
:
๐
โ
e
โ
i
๐ธ
๐ก
,
๐ธ
=
๐ธ
๐
>
0
,
่ฟๅฏนๅบๆไปฌๆญฃ้ข็ๆ ๅต
.
่่ด้ขๅๅฏนๅบไบ่ฝ้ๆฌๅพๅผ
๐ธ
=
โ
๐ธ
๐
<
0
็ๆ ๅต
.
ๅฐ
๐
โ
๐
ไฝ็จๅจ็็ฉบ
|
0
โฉ
ไธ
:
๐
โ
๐
|
0
โฉ
ๅๅฏนๅบไบไธไธช่ฝ้ไธบ
๐ธ
๐
็็ฒๅญๆ
;
ๅณ
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
ไฝ็จๅจ็็ฉบ
|
0
โฉ
ไธ
,
ๅฏนๅบไบไธไธช่ฝ้ไธบ
๐ธ
๐
็็ฒๅญๆ
.
ๅๆ ท็
,
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
ไฝ็จๅจ็็ฉบ
โจ
0
|
ไธ
,
ไนไผๅพๅฐไธไธช่ฝ้ไธบ
๐ธ
๐
็็ฒๅญๆ
โโ
่ฟ
้ไธไผๅๅบ็ฐ่ด่ฝ
!
ๅ ๆญค้ๅญๅบ่ฎบ่งฃๅณไบ็ธๅฏน่ฎบๆง้ๅญๅๅญฆ้็่ด่ฝ่งฃ้ฎ้ข
.
EXAMPLE
3
ๅฏนไบ
complex K-G
ๅบ่ฎบ
,
Lagrangian:
โ
=
|
๐
๐
๐
|
2
โ
๐
2
|
๐
|
2
(203)
ๆญคๆถๅฏไปฅๅฐๅบ็ฎ็ฌฆๅๆ
:
ฬ
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
๐
๐
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
+
๐
โ
๐
e
i
๐
ยท
๐ฅ
)
(204)
่ฟ้
๐
๐
็ฉ็ๆไนๆฏๆนฎ็ญไธไธช็ฒๅญ
,
่
๐
โ
๐
ๆฏไบง็ไธไธชๅ็ฒๅญ
.
็ฑปไผผๅฐ
,
ๅฏไปฅไฝ็ฉบ้ดๅนณ็งป
:
๐
(
โ
๐ฅ
)
=
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
๐
(
โ
๐ฅ
=
0
)
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
(205)
ๅฉ็จ
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
๐
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
=
๐
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
๐
โ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
=
๐
โ
๐
e
โ
i
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
(206)
ไธ่ฌ็
,
ๆๆถ็ฉบๅนณ็งป
:
๐
(
โ
๐ฅ
,
๐ก
)
=
e
i
(
๐ป
๐ก
โ
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
๐
(
0
)
e
โ
i
(
๐ป
๐ก
โ
โ
๐
ยท
โ
๐ฅ
)
=
e
i
๐
ยท
๐ฅ
๐
(
0
)
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
,
๐
=
(
๐ป
,
โ
๐
)
(207)
E.4.
ๅ ๆๆง
Causality;
ไธค็นๅ ณ่ๅฝๆฐ
ไธ็นๅ ณ่ๅฝๆฐๅณๅบ็ฎ็ฌฆ็็็ฉบๆๆๅผ
โจ
0
|
๐
(
๐ฅ
)
|
0
โฉ
=
0
(208)
ไธค็นๅ ณ่ๅฝๆฐ
:
๐ท
(
๐ฅ
,
๐ฆ
)
=
โจ
0
|
๐
(
๐ฅ
)
๐
(
๐ฆ
)
|
0
โฉ
=
โจ
0
|
|
|
|
|
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
โซ
d
๐
3
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
๐
๐
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
+
๐
โ
๐
e
i
๐
ยท
๐ฅ
)
(
๐
๐
e
โ
i
๐
ยท
๐ฆ
+
๐
โ
๐
e
i
๐
ยท
๐ฆ
)
|
|
|
|
|
0
โฉ
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
2
๐ธ
๐
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(209)
ๆไปฌไปๅๅฐไธค็นๅ ณ่ๅฝๆฐ่ฎฐไธบ
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
.
้่ฆๆณจๆ็ๆฏ
,
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
ๆฏ
Lorentz
ไธๅ็
.
ๆไปฌไนๅฏไปฅ่ฟๆ ท็่งฃไธค็นๅ ณ่ๅฝๆฐ
:
๐ท
(
๐ฅ
,
๐ฆ
)
=
โจ
0
|
|
|
|
e
i
๐
ยท
๐ฅ
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
e
i
๐
ยท
๐ฅ
โ
โ
โ
โ
โ
1
๐
(
0
)
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
|
|
|
|
0
โฉ
(210)
ๅ ไธบ
ฬ
๐
|
0
โฉ
=
0
โน
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
|
0
โฉ
โ
(
1
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
)
|
0
โฉ
=
|
0
โฉ
โจ
0
|
e
i
๐
ยท
๐ฅ
=
โจ
0
|
โน
๐ท
(
๐ฅ
,
๐ฆ
)
=
โจ
0
|
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
๐
(
0
)
|
0
โฉ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
ๅชไพ่ตไบ
๐ฅ
โ
๐ฆ
=
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(211)
ๆไปฌ่ๅฏๅ ณ่ๅฝๆฐ็็ฑปๆถ็ฑป็ฉบๆง
:
1.
็ฑปๆถ้ด้
๐ฅ
โ
๐ฆ
timelike,
ๅ
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
2
>
0
,
ๆไปฌๆปๅฏไปฅๆพๅฐไธไธชๅ็ ง็ณป
,
ไฝฟๅพ
โ
๐ฅ
=
โ
๐ฆ
,
๐ฅ
0
โ
๐ฆ
0
=
๐ก
ๅ
:
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
2
๐ธ
๐
e
โ
i
๐ธ
๐
๐ก
(212)
่ฝฌๅฐ็ๅๆ
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
1
2
๐
2
โซ
โ
0
๐
2
d
๐
2
โ
๐
2
+
๐
2
e
โ
i
โ
๐
2
+
๐
2
๐ก
(213)
ๅๅไธไธชๅ้ๆฟๆข
๐
โ
๐ธ
ๅพๅฐ
:
1
4
๐
2
โซ
โ
๐
d
๐ธ
โ
๐ธ
2
โ
๐
2
e
โ
i
๐ธ
๐ก
โถ
๐ก
โ
โ
e
โ
i
๐
๐ก
(214)
2.
็ฑป็ฉบ้ด้
๐ฅ
โ
๐ฆ
spacelike,
ๆ
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
2
<
0
ๆไปฌๅฏไปฅๆพๅฐไธไธชๅ็ ง็ณป
,
ไฝฟๅพ
๐ฅ
0
=
๐ฆ
0
,
โ
๐ฅ
โ
โ
๐ฆ
=
โ
๐
:
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
2
๐ธ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐
=
โซ
2
๐
0
d
๐
(
2
๐
)
3
โซ
โ
0
๐
2
2
๐ธ
๐
d
๐
โซ
๐
0
d
๐
sin
๐
e
i
๐
๐
cos
๐
=
2
๐
(
2
๐
)
3
โซ
โ
0
d
๐
๐
2
2
๐ธ
๐
e
i
๐
๐
โ
e
โ
i
๐
๐
i
๐
๐
=
โ
i
2
(
2
๐
)
2
๐
โซ
โ
0
d
๐
๐
(
e
i
๐
๐
โ
e
โ
i
๐
๐
)
โ
๐
2
+
๐
2
=
โ
i
2
(
2
๐
)
2
๐
โซ
โ
โ
โ
d
๐
๐
e
i
๐
๐
โ
๐
2
+
๐
2
(215)
่ฟไธช็งฏๅๅจ่่ฝด
ยฑ
๐
ๅผๅงๆไธคๆก
branch cut.
ไธบไบ่ฎก็ฎ็งฏๅ
,
ๆไปฌๅฏไปฅๆๆฒฟๅฎ่ฝด็็งฏๅๅไธบๆฒฟ่่ฝด
branch
cut
็็งฏๅ
.
ๅ
๐
=
โ
i
๐
:
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
1
4
๐
2
๐
โซ
โ
๐
d
๐
๐
e
โ
๐
๐
โ
๐
2
โ
๐
2
โถ
๐
โ
โ
e
โ
๐
๐
(216)
ๆไปฌๅ็ฐ่ฟไธช็งฏๅไธไธบ
0
.
็ฑป็ฉบ้ด้็ไธค็นๆฏไธๅ ทๆๅ ๆๆง็
.
่ฟไธช็ปๆๅนถไธ่ฟ่ๅ ๆๆง
.
(
ๅ ๆๆง
Causality)
ๅฆๆ
๐ฅ
โ
๐ฆ
็ฑป็ฉบ
,
๐ฅ
ๅค็ไปปไฝๆต้ๅฟ ้กปๅ
๐ฆ
ๅคๅฝผๆญค็ฌ็ซ
:
[
๐
1
(
๐ฅ
)
,
๐
2
(
๐ฆ
)
]
=
0
(217)
ไปฃๅ ฅๅบ็ฎ็ฌฆ้ช่ฏ
:
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
[
๐
๐
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
+
๐
โ
๐
e
i
๐
ยท
๐ฅ
,
๐
๐
e
โ
i
๐
ยท
๐ฆ
+
๐
โ
๐
e
i
๐
ยท
๐ฆ
]
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
2
๐ธ
๐
(
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
โ
e
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
)
=
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
โ
๐ท
(
๐ฆ
โ
๐ฅ
)
(218)
ๅจ็ฑป็ฉบๆ ๅตไธ
,
ๆไปฌๆปๅฏไปฅๅฏน็ฌฌไบ้กนไฝไธ็ณปๅ่ฟ็ปญ็
Lorentz
ๅๆข
,
ไฝฟ
๐ฅ
โ
๐ฆ
โ
โ
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
,
ๅณ
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
ไธบๅถ
ๅฝๆฐ
:
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
=
0
(219)
ๆ่ ๆด็ด่ง็
:
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
2
๐ธ
๐
e
i
โ
๐
ยท
โ
๐
โถ
๐
โ
โ
๐
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
2
๐ธ
๐
e
i
โ
๐
ยท
(
โ
โ
๐
)
=
๐ท
(
๐ฆ
โ
๐ฅ
)
(220)
ไนๅฏไปฅๅพๅฐ็ธๅ็ปๆ
.
ๅฏนไบ็ฑปๆถๆ ๅต
,
ไนๅฏไปฅ่ฎก็ฎ
:
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
โผ
โ
๐ฅ
=
โ
๐ฆ
๐ก
โ
โ
e
โ
i
๐
๐ก
โ
e
i
๐
๐ก
โ
0
(221)
่่
complex Klein-Gordon
ๅบ่ฎบ
:
โ
CKG
=
|
๐
๐
๐
|
2
โ
๐
2
|
๐
|
2
(222)
ๅบ็ฎ็ฌฆๅฏไปฅๅ่งฃไธบไธคไธชๆ ้ๅบ
:
๐
=
๐
1
+
i
๐
2
(223)
ๆพ็ถ
,
๐
(
๐ฅ
)
ไธๅๆฏ
Hermitian
็
:
๐
(
๐ฅ
)
โ
๐
โ
(
๐ฅ
)
(224)
ๅนณ้ขๆณขๅฑๅผ
:
๐
(
๐ฅ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
โ
2
๐ธ
๐
(
๐
๐
e
โ
i
๐
ยท
๐ฅ
+
๐
โ
๐
e
i
๐
ยท
๐ฅ
)
(225)
ๆปก่ถณๅฏนๆๅ ณ็ณป
:
[
๐
๐
,
๐
โ
๐
]
=
[
๐
๐
,
๐
โ
๐
]
=
(
2
๐
)
3
๐ฟ
(
3
)
(
โ
๐
โ
โ
๐
)
(226)
่ๅฏๅฏนๆๅญ
:
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
=
โจ
0
|
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
|
0
โฉ
=
โจ
0
|
๐
(
๐ฅ
)
๐
(
๐ฆ
)
|
0
โฉ
โ
โจ
0
|
๐
(
๐ฆ
)
๐
(
๐ฅ
)
|
0
โฉ
=
0
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
โ
(
๐ฆ
)
]
=
โจ
0
|
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
โ
(
๐ฆ
)
]
|
0
โฉ
=
โจ
0
|
๐
(
๐ฅ
)
๐
โ
(
๐ฆ
)
|
0
โฉ
โ
โจ
0
|
๐
โ
(
๐ฆ
)
๐
(
๐ฅ
)
|
0
โฉ
โผ
โจ
0
|
๐
๐
โ
|
0
โฉ
โ
โจ
0
|
๐
๐
โ
|
0
โฉ
(227)
ๅ ๆญคไธบไบๆปก่ถณๅ ๆๆง
,
ๅบๅฝ
:
1.
ๅฟ ้กปๅญๅจๅ็ฒๅญ
2.
ๅ็ฒๅญ่ดจ้ไธๆญฃ็ฒๅญไธฅๆ ผ็ธ็ญ
.
ๅนถไธๆไปฌๆณจๆๅฐๅ็ฒๅญไป
๐ฆ
็นไผ ๆญๅฐ
๐ฅ
็น็ๆฏๅน ไธๆญฃ็ฒๅญไป
๐ฅ
็นไผ ๆญๅฐ
๐ฆ
็น็ๆฏๅน ๆฏ็ธ็ญ็
.
E.5.
Klein-Gordon
ๅบ่ฎบ็ไผ ๆญๅญ
propagator: Retarded propergator / Feynman
propagator
E.5.1.
Retarded propagator
ๆจ่ฟไผ ๆญๅญ
็ปง็ปญ็ ็ฉถๅฏนๆๅญ
:
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
=
โจ
0
|
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
|
0
โฉ
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
1
2
๐ธ
๐
(
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
โ
e
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
{
{
{
{
{
1
2
๐ธ
๐
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
|
|
|
|
๐
0
=
๐ธ
๐
+
1
โ
2
๐ธ
๐
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
|
|
|
|
๐
0
=
โ
๐ธ
๐
}
}
}
}
}
=
๐ฅ
0
>
๐ฆ
0
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
โซ
d
๐
0
2
๐
i
โ
1
(
๐
0
)
2
โ
๐ธ
2
๐
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
3
๐
(
2
๐
)
3
โซ
d
๐
0
2
๐
i
โ
1
๐
2
โ
๐
2
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(228)
่ฟ้ๅฏน
๐
0
็็งฏๅๅญๅจไธคไธชๆ็น
:
๐
0
=
ยฑ
๐ธ
๐
,
ๆไปฌ้ๅไปไธๅๅๅจ็ป่ฟไธคไธชๆ็น
,
็งฏๅ่ทฏๅพๅฆไธ
:
ๆๅๅบ
๐
0
้จๅ
,
่ฎฐ
๐ฅ
0
โ
๐ฆ
0
=
๐ก
,
่่
e
โ
i
๐
0
(
๐ฅ
0
โ
๐ฆ
0
)
=
e
โ
i
(
Re
๐
0
+
i
Im
๐
0
)
๐ก
=
e
โ
i
Re
๐
0
๐ก
+
Im
๐
0
๐ก
โผ
e
Im
๐
0
(229)
ๅฆๆไปไธๅๅนณ้ข็ปๅด้
,
็งฏๅไผๆๆฐๅข้ฟ
.
ๅ ๆญคๆไปฌไปไธๅๅนณ้ข็ปๅๅจ
.
ไบๆฏๆไปฌๅพๅฐ
:
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
=
โซ
d
4
๐
(
2
๐
)
4
i
๐
2
โ
๐
2
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(230)
ๅฎไนๆจ่ฟไผ ๆญๅญ
Retarded propagator (
ๆจ่ฟๆ ผๆๅฝๆฐ
Retarded Green function):
๐ท
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
๐
(
๐ฅ
0
โ
๐ฆ
0
)
โจ
0
|
[
๐
(
๐ฅ
)
,
๐
(
๐ฆ
)
]
|
0
โฉ
=
โซ
d
4
๐
(
2
๐
)
4
i
๐
2
โ
๐
2
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(231)
Green function:
ๆไปฌ่่ๆๆบ
K-G
ๅบ
:
โ
=
1
2
(
๐
๐
๐
)
2
โ
1
2
๐
2
๐
2
+
๐
(
๐ฅ
)
๐
(
๐ฅ
)
,
(
โก
+
๐
2
)
๐
=
๐
(
๐ฅ
)
(232)
็ปๅฎๅๅผ
๐
0
(
๐ฅ
)
ๅฏไปฅๅๅบ
:
๐
(
๐ฅ
)
=
๐
0
(
๐ฅ
)
+
i
โซ
d
4
๐ฆ
๐ท
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
๐
(
๐ฆ
)
(233)
ๆปก่ถณ
(
Green function
็ๅๅงๅฎไน
):
(
โก
+
๐
2
)
๐ท
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โ
i
๐ฟ
(
4
)
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(234)
ไปฅๅ
(
โก
+
๐
2
)
๐
0
(
๐ฅ
)
=
0
(235)
ๅฐๆจ่ฟไผ ๆญๅญๅๆขๅฐๅจ้็ฉบ้ด
:
๐ท
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
4
๐
(
2
๐
)
4
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
ฬ
๐ท
๐
(
๐
)
(236)
ไปฃๅ ฅ
ๅ ฌๅผ
ย 234
:
(
โ
๐
2
+
๐
2
)
ฬ
๐ท
๐
(
๐
)
=
โ
i
(237)
ไนๅฏไปฅ็ดๆฅ่ฏปๅบ่ฟ้ๅจ้็ฉบ้ด็ๆจ่ฟไผ ๆญๅญ
:
ฬ
๐ท
๐
(
๐
)
=
i
๐
2
โ
๐
2
(238)
ไธๆไธญๆไปฌ้ๅ็็งฏๅ่ทฏๅพไปไธๅๅๅจ็ป่ฟไธคไธชๆ็น
,
็ฑปไผผๅฐ
,
ๆไปฌไปไธๅๅๅจ็ป่ฟไธคไธชๆ็น
,
ๅพๅฐ่ถ ๅไผ ๆญๅญ
(
ๆ ผๆๅฝๆฐ
)
advanced propagator (Green function)
๐ท
๐
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
.
E.5.2.
Feynman propagator
่ดนๆผไผ ๆญๅญ
่ดนๆผไผ ๆญๅญ
:
๐ท
๐น
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
4
๐
(
2
๐
)
4
i
๐
2
โ
๐
2
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(239)
ไธไธ้ข็ๆจ่ฟๅ่ถ ๅไผ ๆญๅญ็ๅทฎๅซๅจไบ้ๅๅฆไธๅด้
:
ๆไปฌๅฐๅด้ๅพไธๆจ็ดๅฐๆๅนณ
,
ๅนถๅฐไธคไธชๆ็นๅๅฏนๅบๆนๅไฝๆ ็ฉทๅฐๅนณ็งป
:
โ
๐ธ
๐
โ
โ
๐ธ
๐
+
i
๐
,
๐ธ
๐
โ
๐ธ
๐
โ
i
๐
>
,
๐
ๆฏไธๆ ็ฉทๅฐๅฎๆฐ
.
่ดนๆผไผ ๆญๅญๅฏไปฅๅๆ
:
๐ท
๐น
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
4
๐
(
2
๐
)
4
i
๐
2
โ
๐
2
+
i
๐
e
โ
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
(240)
่ฟ็งๆนๆณ่ขซ็งฐไธบ
Feynman prescription
.
่่ๅจ้็ฉบ้ดๅ ้ๅถๅๆข
:
๐ท
๐น
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
โซ
d
4
๐
(
2
๐
)
4
e
i
๐
ยท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
ฬ
๐ท
๐น
(
๐
)
โน
ฬ
๐ท
๐น
(
๐
)
=
i
๐
2
โ
๐
2
+
i
๐
(241)
่ดนๆผไผ ๆญๅญๅฏไปฅๅๆ
๐ท
๐น
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
=
{
{
{
{
{
๐ท
(
๐ฅ
โ
๐ฆ
)
๐ฅ
0
>
๐ฆ
0
๐ท
(
๐ฆ
โ
๐ฅ
)
๐ฅ
0
<
๐ฆ
0
=
๐
(
๐ฅ
0
โ
๐ฆ
0
)
โจ
0
|
๐
(
๐ฅ
)
๐
(
๐ฆ
)
|
0
โฉ
+
๐
(
๐ฆ
0
โ
๐ฅ
0
)
โจ
0
|
๐
(
๐ฆ
)
๐
(
๐ฅ
)
|
0
โฉ
=
โจ
0
|
๐
๐
(
๐ฅ
)
๐
(
๐ฆ
)
|
0
โฉ
(242)
ๅผๅ ฅ
time-ordering operator (
็ผๆถ็ฎ็ฌฆ
)
๐
:
๐
๐
(
๐ฅ
)
๐
(
๐ฆ
)
๐
(
๐ง
)
=
๐
(
๐ฆ
)
๐
(
๐ง
)
๐
(
๐ฅ
)
,
if
๐ฆ
0
>
๐ง
0
>
๐ฅ
0
(243)
F.
Dirac
ๅบ่ฎบ